Calcolo Esempi

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{2}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{128}{x}$ rispetto a $x$ è $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

$- 128$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

Somma $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $128 x$ rispetto a $x$ è $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $128$ per $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{128}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 1.1.2.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 1.1.2.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 1.1.2.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.1.2.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

$256$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $128$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

Passaggio 1.2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 1$

Passaggio 1.2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ per $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$256 = - 128 x^{3}$

Passaggio 1.2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 128 x^{3} = 256$ .

$- 128 x^{3} = 256$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $256$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Passaggio 1.2.5.3

Scomponi $- 128$ da $- 128 x^{3} - 256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1

Scomponi $- 128$ da $- 128 x^{3}$ .

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Passaggio 1.2.5.3.2

Scomponi $- 128$ da $- 256$ .

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.3.3

Scomponi $- 128$ da $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ .

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

Passaggio 1.2.5.4

Dividi per $- 128$ ciascun termine in $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1

Dividi per $- 128$ ciascun termine in $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Passaggio 1.2.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 128$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Passaggio 1.2.5.4.2.1.2

Dividi $x^{3} + 2$ per $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

Passaggio 1.2.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.3.1

Dividi $0$ per $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.5

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = - 2$

Passaggio 1.2.5.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Passaggio 1.2.5.7

Semplifica $\sqrt[3]{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.7.1

Riscrivi $- 2$ come ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.7.1.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Passaggio 1.2.5.7.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.7.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Passaggio 1.2.5.7.3

Riscrivi $- 1 \sqrt[3]{2}$ come $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{128}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $256$ per $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 4$ e $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $124$ .

$124$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $256$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 256$ e $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 128$ .

$- 128$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ perché $f'' (- 1)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $256$ per $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

Passaggio 6.2.2

Somma $32$ e $128$ .

$f'' (2) = 160$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $160$ .

$160$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8