Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (x))$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.13

$\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni lato per $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Semplifica $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Passaggio 2.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Passaggio 2.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\ln (x) = - 2$

Passaggio 2.5

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\ln (x) = - 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Passaggio 2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta il denominatore in $\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 3.6

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 3.7

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 3.8

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x} \ln (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{e^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 4.1.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 4.1.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta $e^{2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- 2})$

Passaggio 4.1.2.6

Espandi $\ln (e^{- 2})$ spostando $- 2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{e} (- 2 \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{1}{e} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 2$

Passaggio 4.1.2.9

$\frac{1}{e}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{e}$

Passaggio 4.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{e}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\sqrt{0} \ln (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{0} \ln (0)$

Passaggio 4.2.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{e^{2}}, - \frac{2}{e})$

Passaggio 5