Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \ln (3 x) + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.7

$\frac{1}{3 x}$ e $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.9

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.10

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.10.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.10.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.10.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.10.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Somma $x + \ln (3 x) (2 x)$ e $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (3 x) = - x$

Passaggio 2.3

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (3 x) = - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (3 x) = - x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $\ln (3 x)$ per $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Passaggio 2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.1

Sposta $e^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\ln (3 x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 x \leq 0$

Passaggio 3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \leq 0$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x \leq 0$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} \ln (3 x) + 6$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ a $x$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Passaggio 4.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta $e^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

Passaggio 4.1.2.6

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ spostando $- \frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

Passaggio 4.1.2.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $\frac{1}{9 e}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 \ln (3 (0)) + 6$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi $\ln (3 (0))$ come $\ln (3) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Passaggio 4.2.2.1.3

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Passaggio 4.2.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

Passaggio 5