Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 25 x - 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 25 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [25 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $25$ per $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $x^{2} - 10 x + 25$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 10 x + 25$ .

$x^{2} - 10 x + 25$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Poni $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 25 x - 3$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 5$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5)}^{3} - 5 {(5)}^{2} + 25 (5) - 3$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - 5 {(5)}^{2} + 25 (5) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ e $125$ .

$\frac{125}{3} - 5 {(5)}^{2} + 25 (5) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{125}{3} - 5 \cdot 25 + 25 (5) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $25$ .

$\frac{125}{3} - 125 + 25 (5) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $25$ per $5$ .

$\frac{125}{3} - 125 + 125 - 3$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $- 125$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125}{1} + 125 - 3$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 125}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125}{1} \cdot \frac{3}{3} + 125 - 3$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 125}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + 125 - 3$

Passaggio 4.1.2.2.4

Scrivi $125$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + \frac{125}{1} - 3$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{125}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + \frac{125}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{125}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + \frac{125 \cdot 3}{3} - 3$

Passaggio 4.1.2.2.7

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + \frac{125 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + \frac{125 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 125 \cdot 3}{3} + \frac{125 \cdot 3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{125 - 125 \cdot 3 + 125 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 125$ per $3$ .

$\frac{125 - 375 + 125 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $125$ per $3$ .

$\frac{125 - 375 + 375 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{125 - 375 + 375 - 9}{3}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $375$ da $125$ .

$\frac{- 250 + 375 - 9}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Somma $- 250$ e $375$ .

$\frac{125 - 9}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Sottrai $9$ da $125$ .

$\frac{116}{3}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(5, \frac{116}{3})$

Passaggio 5