Calcolo Esempi

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola della catena. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 2.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ x^{j} θ)]$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $\log (1 - σ x^{j} θ)$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- \log (σ) x^{j} θ$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ rispetto a $y$ è $- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- \log (1 - σ θ x^{j})$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ θ x^{j})$ rispetto a $y$ è $- \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y^{j}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{j}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - \frac{d}{d y} [y^{j}])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - (j y^{j - 1}))$

Passaggio 4.6

Sottrai $j y^{j - 1}$ da $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (- j y^{j - 1})$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + 1 \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Passaggio 4.8

Moltiplica $\log (1 - σ θ x^{j})$ per $1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$ .

$- j θ y^{j - 1} x^{j} \log (σ) + j y^{j - 1} \log (1 - σ θ x^{j})$