Calcolo Esempi

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- y^{j} \log (σ) θ$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ rispetto a $x$ è $- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- (1 - y^{j})$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ x^{j} θ)$ rispetto a $x$ è $- (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 1 - σ x^{j} θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - σ x^{j} θ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\log (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - σ x^{j} θ$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Passaggio 3.5

Poiché $- σ θ$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- σ x^{j} θ$ rispetto a $x$ è $- σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]))$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ (j x^{j - 1})))$

Passaggio 3.7

Sottrai $σ θ j x^{j - 1}$ da $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (- σ θ j x^{j - 1}))$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ e $σ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} θ j x^{j - 1})$

Passaggio 3.9

$θ$ e $\frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} j x^{j - 1})$

Passaggio 3.10

$j$ e $\frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} x^{j - 1})$

Passaggio 3.11

$x^{j - 1}$ e $\frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{x^{j - 1} (j (θ σ))}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)})$

Passaggio 3.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + 1 (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $1 - y^{j}$ per $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{1 \ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\ln (10)$ per $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$- x^{j - 1} y^{j} j θ \log (σ) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$