Calcolo Esempi

$\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{4}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 9 (2 x)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f' (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 18 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 18 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $x$ da $9 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (9 x) + 18 x = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $x$ da $18 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (9 x) + x \cdot 18 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (9 x)$ .

$x (x^{2} + 9 x) + x \cdot 18 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + 9 x) + x \cdot 18$ .

$x (x^{2} + 9 x + 18) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $9$ .

$3, 6$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$x ((x + 3) (x + 6)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 3) (x + 6) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 3) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 0, - 3, - 6$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 3, - 6$ .

$0, - 3, - 6$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f' (- 7) = {(- 7)}^{3} + 9 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 7) = - 343 + 9 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 7) = - 343 + 9 \cdot 49 + 18 (- 7)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $9$ per $49$ .

$f' (- 7) = - 343 + 441 + 18 (- 7)$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $18$ per $- 7$ .

$f' (- 7) = - 343 + 441 - 126$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 343$ e $441$ .

$f' (- 7) = 98 - 126$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $126$ da $98$ .

$f' (- 7) = - 28$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 28$ .

$- 28$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 7$ la derivata è $- 28$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 6)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 6)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 6, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{9}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{9^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{9^{3}}{2^{3}} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{2^{3}} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (\frac{81}{2^{2}}) + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (\frac{81}{4}) + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $9 (\frac{81}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.10.1

$9$ e $\frac{81}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{9 \cdot 81}{4} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.10.2

Moltiplica $9$ per $81$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 18 (- \frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.11.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 18 (\frac{- 9}{2})$

Passaggio 7.2.1.11.2

Scomponi $2$ da $18$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 2 (9) (\frac{- 9}{2})$

Passaggio 7.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 2 \cdot (9 (\frac{- 9}{2}))$

Passaggio 7.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 9 \cdot - 9$

Passaggio 7.2.1.12

Moltiplica $9$ per $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} - 81$

Passaggio 7.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $\frac{729}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} \cdot \frac{2}{2} - 81$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $\frac{729}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 81$

Passaggio 7.2.2.3

Scrivi $- 81$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 81}{1}$

Passaggio 7.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 81}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 81}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 81 \cdot 8}{8}$

Passaggio 7.2.2.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 81 \cdot 8}{8}$

Passaggio 7.2.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 729 + 729 \cdot 2 - 81 \cdot 8}{8}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $729$ per $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 729 + 1458 - 81 \cdot 8}{8}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $- 81$ per $8$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 729 + 1458 - 648}{8}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Somma $- 729$ e $1458$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{729 - 648}{8}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $648$ da $729$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{8}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{81}{8}$ .

$\frac{81}{8}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{9}{2}$ la derivata è $\frac{81}{8}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 6, - 3)$ .

Crescente su $(- 6, - 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.7

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (\frac{9}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (\frac{9}{4}) + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.10

Moltiplica $9 (\frac{9}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.10.1

$9$ e $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.10.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.11.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 18 (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 8.2.1.11.2

Scomponi $2$ da $18$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 2 (9) (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 8.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 2 \cdot (9 (\frac{- 3}{2}))$

Passaggio 8.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 9 \cdot - 3$

Passaggio 8.2.1.12

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} - 27$

Passaggio 8.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $\frac{81}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} - 27$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $\frac{81}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 27$

Passaggio 8.2.2.3

Scrivi $- 27$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 27}{1}$

Passaggio 8.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 8.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 27 \cdot 8}{8}$

Passaggio 8.2.2.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{8}$

Passaggio 8.2.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{- 27 \cdot 8}{8}$

Passaggio 8.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 81 \cdot 2 - 27 \cdot 8}{8}$

Passaggio 8.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $81$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 162 - 27 \cdot 8}{8}$

Passaggio 8.2.4.2

Moltiplica $- 27$ per $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 162 - 216}{8}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Somma $- 27$ e $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{135 - 216}{8}$

Passaggio 8.2.5.2

Sottrai $216$ da $135$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81}{8}$

Passaggio 8.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{81}{8}$

Passaggio 8.2.6

La risposta finale è $- \frac{81}{8}$ .

$- \frac{81}{8}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{81}{8}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 3, 0)$ .

Decrescente su $(- 3, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 1 + 9 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Passaggio 9.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 1 + 9 \cdot 1 + 18 (1)$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (1) = 1 + 9 + 18 (1)$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $18$ per $1$ .

$f' (1) = 1 + 9 + 18$

Passaggio 9.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $1$ e $9$ .

$f' (1) = 10 + 18$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $10$ e $18$ .

$f' (1) = 28$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $28$ .

$28$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $28$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 6, - 3), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 6), (- 3, 0)$

Passaggio 11