Calcolo Esempi

$x \sqrt{324 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt{324 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{324 - x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{324 - x^{2}}$ come ${(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 324 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $324 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $324 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(324 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(324 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(324 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.8.3

Sposta ${(324 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.8.4

$\frac{1}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [324 - x^{2}] + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $324 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [324] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [324] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.10

Poiché $324$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $324$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.22

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.23

Moltiplica ${(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.24

Per scrivere ${(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.26

Moltiplica ${(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{2} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + {(324 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(324 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(324 - x^{2})}^{1}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.27

Semplifica ${(324 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 324 - x^{2}}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 324}{{(324 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 324}{{(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 324}{{(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 324}{{(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 324}{{(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 324}{{(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 324 = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $324$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 324$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 324$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 324$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 324}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 324}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 324}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Dividi $- 324$ per $- 2$ .

$x^{2} = 162$

Passaggio 3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{162}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{162}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $162$ come $9^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$x = \pm \sqrt{81 (2)}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 9 \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 9 \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 9 \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 9 \sqrt{2}, - 9 \sqrt{2}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $9 \sqrt{2}, - 9 \sqrt{2}$ .

$9 \sqrt{2}, - 9 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{- 2 x^{2} + 324}{\sqrt{{(- x^{2} + 324)}^{1}}}$

Passaggio 5.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{- 2 x^{2} + 324}{\sqrt{- x^{2} + 324}}$

Passaggio 5.2

Imposta il denominatore in $\frac{- 2 x^{2} + 324}{\sqrt{- x^{2} + 324}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x^{2} + 324} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x^{2} + 324}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x^{2} + 324}$ come ${(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica ${({(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x^{2} + 324)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x^{2} + 324)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- x^{2} + 324 = 0^{2}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x^{2} + 324 = 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $324$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 324$

Passaggio 5.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 324$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 324$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 324}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 324}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 324}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.3.1

Dividi $- 324$ per $- 1$ .

$x^{2} = 324$

Passaggio 5.3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{324}$

Passaggio 5.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{324}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Riscrivi $324$ come $18^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{18^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 18$

Passaggio 5.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 18$

Passaggio 5.3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 18$

Passaggio 5.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 18, - 18$

Passaggio 5.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- x^{2} + 324}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- x^{2} + 324 < 0$

Passaggio 5.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sottrai $324$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 324$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 324$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 324$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 324}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 324}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 324}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividi $- 324$ per $- 1$ .

$x^{2} > 324$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{324}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{324}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{324}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Riscrivi $324$ come $18^{2}$ .

$| x | > \sqrt{18^{2}}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > | 18 |$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $18$ è $18$ .

$| x | > 18$

Passaggio 5.5.5

Scrivi $| x | > 18$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 5.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 18$

Passaggio 5.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 5.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 18$

Passaggio 5.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 18 & x \geq 0 \\ - x > 18 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 5.5.6

Trova l'intersezione di $x > 18$ e $x \geq 0$ .

$x > 18$

Passaggio 5.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 18$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{18}{- 1}$

Passaggio 5.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{18}{- 1}$

Passaggio 5.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{18}{- 1}$

Passaggio 5.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.7.3.1

Dividi $18$ per $- 1$ .

$x < - 18$

Passaggio 5.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 18$ o $x > 18$

Passaggio 5.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 18, x \geq 18$

$(- \infty, - 18] \cup [18, \infty)$

$x \leq - 18, x \geq 18$

$(- \infty, - 18] \cup [18, \infty)$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 18) \cup (- 18, - 9 \sqrt{2}) \cup (- 9 \sqrt{2}, 9 \sqrt{2}) \cup (9 \sqrt{2}, 18) \cup (18, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 18)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 19$ nell'espressione.

$f' (- 19) = \frac{- 2 {(- 19)}^{2} + 324}{{(- {(- 19)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 19$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 19) = \frac{- 2 \cdot 361 + 324}{{(- {(- 19)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $361$ .

$f' (- 19) = \frac{- 722 + 324}{{(- {(- 19)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $- 722$ e $324$ .

$f' (- 19) = \frac{- 398}{{(- {(- 19)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Eleva $- 19$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 19) = \frac{- 398}{{(- 1 \cdot 361 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $361$ .

$f' (- 19) = \frac{- 398}{{(- 361 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 361$ e $324$ .

$f' (- 19) = \frac{- 398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 19) = - \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 19$ la derivata è $- \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 18)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 18)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 18, - 9 \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 15.363961$ nell'espressione.

$f' (- 15.363961) = \frac{- 2 {(- 15.363961)}^{2} + 324}{{(- {(- 15.363961)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $- 15.363961$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 2 \cdot 236.0512976 + 324}{{(- {(- 15.363961)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $236.0512976$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 472.10259521 + 324}{{(- {(- 15.363961)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $- 472.10259521$ e $324$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{(- {(- 15.363961)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Eleva $- 15.363961$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{(- 1 \cdot 236.0512976 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $236.0512976$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{(- 236.0512976 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 236.0512976$ e $324$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{87.94870239}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi $87.94870239$ come ${9.37809694}^{2}$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{({9.37809694}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{9.37809694}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{9.37809694}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{9.37809694}$

Passaggio 8.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (- 15.363961) = \frac{- 148.10259521}{9.37809694}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 148.10259521$ per $9.37809694$ .

$f' (- 15.363961) = - 15.79239327$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 15.79239327$ .

$- 15.79239327$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 15.363961$ la derivata è $- 15.79239327$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 18, - 9 \sqrt{2})$ .

Decrescente su $(- 18, - 9 \sqrt{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 12.727922, 9 \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 324}{{(- {(0)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 324}{{(- 0^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 324}{{(- 0^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3

Somma $0$ e $324$ .

$f' (0) = \frac{324}{{(- 0^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{324}{{(- 0 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{324}{{(0 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $0$ e $324$ .

$f' (0) = \frac{324}{324^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi $324$ come $18^{2}$ .

$f' (0) = \frac{324}{{(18^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{324}{18^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{324}{18^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{324}{18}$

Passaggio 9.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (0) = \frac{324}{18}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $324$ per $18$ .

$f' (0) = 18$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $18$ .

$18$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $18$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 12.727922, 9 \sqrt{2})$ .

Crescente su $(- 9 \sqrt{2}, 9 \sqrt{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(12.727922, 18)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $15.363961$ nell'espressione.

$f' (15.363961) = \frac{- 2 {(15.363961)}^{2} + 324}{{(- {(15.363961)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $15.363961$ alla potenza di $2$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 2 \cdot 236.0512976 + 324}{{(- {15.363961}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $236.0512976$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 472.10259521 + 324}{{(- {15.363961}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.3

Somma $- 472.10259521$ e $324$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{(- {15.363961}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $15.363961$ alla potenza di $2$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{(- 1 \cdot 236.0512976 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $236.0512976$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{(- 236.0512976 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 236.0512976$ e $324$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{87.94870239}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi $87.94870239$ come ${9.37809694}^{2}$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{({9.37809694}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{9.37809694}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 10.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{{9.37809694}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 10.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{9.37809694}$

Passaggio 10.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (15.363961) = \frac{- 148.10259521}{9.37809694}$

Passaggio 10.2.3

Dividi $- 148.10259521$ per $9.37809694$ .

$f' (15.363961) = - 15.79239327$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $- 15.79239327$ .

$- 15.79239327$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 15.363961$ la derivata è $- 15.79239327$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(12.727922, 18)$ .

Decrescente su $(9 \sqrt{2}, 18)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Sostituisci un valore dell'intervallo $(18, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $19$ nell'espressione.

$f' (19) = \frac{- 2 {(19)}^{2} + 324}{{(- {(19)}^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $19$ alla potenza di $2$ .

$f' (19) = \frac{- 2 \cdot 361 + 324}{{(- 19^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $361$ .

$f' (19) = \frac{- 722 + 324}{{(- 19^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.1.3

Somma $- 722$ e $324$ .

$f' (19) = \frac{- 398}{{(- 19^{2} + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Eleva $19$ alla potenza di $2$ .

$f' (19) = \frac{- 398}{{(- 1 \cdot 361 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $361$ .

$f' (19) = \frac{- 398}{{(- 361 + 324)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 361$ e $324$ .

$f' (19) = \frac{- 398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (19) = - \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3

In corrispondenza di $x = 19$ la derivata è $- \frac{398}{{(- 37)}^{\frac{1}{2}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(18, \infty)$ .

Decrescente su $(18, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 12

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 9 \sqrt{2}, 9 \sqrt{2})$

Decrescente su: $(- \infty, - 18), (- 18, - 9 \sqrt{2}), (9 \sqrt{2}, 18), (18, \infty)$

Passaggio 13