Calcolo Esempi

$x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Passaggio 2.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (x) = - x$

Passaggio 3.3

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (x) = - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (x) = - x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Passaggio 3.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 5.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Passaggio 7

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.30326533$ nell'espressione.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Passaggio 8.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $2$ per $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica $0.60653067 \ln (0.30326533)$ spostando $0.60653067$ all'interno del logaritmo.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $0.30326533$ alla potenza di $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Passaggio 8.2.3

Somma $\ln (0.48496413)$ e $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0.30326533$ la derivata è $- 0.42041501$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

Decrescente su $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.60653067$ nell'espressione.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Passaggio 10.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $2$ per $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica $3.21306134 \ln (1.60653067)$ spostando $3.21306134$ all'interno del logaritmo.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Passaggio 10.2.2.3

Eleva $1.60653067$ alla potenza di $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Passaggio 10.2.3

Somma $\ln (4.58705612)$ e $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $3.12976912$ .

$3.12976912$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 1.60653067$ la derivata è $3.12976912$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Decrescente su: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 12