Calcolo Esempi

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = 6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) + 6 (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \cos (x) - 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 6 \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 6 \cos (x)$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

$- 6 \sin (x) - 6 \cos (x)$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 6 \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 6 \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.3

Frazioni separate.

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.5

Dividi $- 6$ per $1$ .

$- 6 \tan (x) + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$- 6 \tan (x) + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.6.2

Dividi $- 6$ per $1$ .

$- 6 \tan (x) - 6 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.7

Frazioni separate.

$- 6 \tan (x) - 6 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.2.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- 6 \tan (x) - 6 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.2.9

Dividi $0$ per $1$ .

$- 6 \tan (x) - 6 = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- 6 \tan (x) - 6 = 0$

Passaggio 2.2.11

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 \tan (x) = 6$

Passaggio 2.2.12

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \tan (x) = 6$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.12.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \tan (x) = 6$ .

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Passaggio 2.2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.12.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

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Passaggio 2.2.12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Passaggio 2.2.12.2.1.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{6}{- 6}$

Passaggio 2.2.12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.12.3.1

Dividi $6$ per $- 6$ .

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 2.2.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 2.2.14

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.14.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.2.15

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 2.2.16

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 2.2.16.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 2.2.16.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.2.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 2.2.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.2.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.2.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.2.18

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 2.2.18.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 2.2.18.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.2.18.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.18.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.2.18.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.2.18.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.18.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 2.2.18.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.2.18.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.2.19

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 6 \sin (0) - 6 \cos (0)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 - 6 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6