Calcolo Esempi

$16 \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $16 \sin^{2} (2 x)$ come funzione.

$f (x) = 16 \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$16 \int \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6

$\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$16 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$16 (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $16$ .

$\frac{16}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$4 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 15

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 15.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 15.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 15.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 16

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 17

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 18

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$4 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 19

Semplifica.

$4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 20

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 20.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Passaggio 20.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Passaggio 21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Passaggio 21.1.2

$\sin (4 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 21.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (2 x) + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 21.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 21.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 21.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin (4 x)}{2}$ nel numeratore.

$8 x + 4 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 21.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$8 x + 2 (2) \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 21.4.3

Elimina il fattore comune.

$8 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 21.4.4

Riscrivi l'espressione.

$8 x + 2 (- \sin (4 x)) + C$

Passaggio 21.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 x - 2 \sin (4 x) + C$

Passaggio 22

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 16 \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $8 x - 2 \sin (4 x) + C$