Calcolo Esempi

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Passaggio 11

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$