Calcolo Esempi

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ come $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ .

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.3.1.3.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 x}$ nel numeratore.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.4.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Passaggio 4.3.1.6

Moltiplica $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

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Passaggio 4.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 4.3.1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{2 x}$ per $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 4.3.1.6.3

Moltiplica $\frac{1}{2 x}$ per $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

Passaggio 4.3.1.6.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

Passaggio 4.3.1.6.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

Passaggio 4.3.1.6.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

Passaggio 4.3.1.6.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 4.3.1.6.8

Somma $1$ e $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

Passaggio 11.2.2

Sposta $x^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$