Calcolo Esempi

$\sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (2 x) d x$ come funzione.

$f (x) = \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin (2 x) d x d x$

Passaggio 4

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int \sin (2 x) x d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$d (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$d (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6.3

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ per $1$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 10

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Riscrivi $d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ come $d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2.2

$\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2.3

$\frac{1}{4}$ e $\sin (u)$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Riordina i fattori in $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Passaggio 17.2

Riordina i termini.

$d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin (2 x) d x$ .

$F (x) =$ $d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$