Calcolo Esempi

$\frac{(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 5.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 5.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 5.1.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 u d u$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int - 2 u d u$

Passaggio 7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int u d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{2} + C$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{2} + C$

Passaggio 9.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Passaggio 9.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} u^{2} + C$

Passaggio 9.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- u^{2} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{2} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{2} + C$