Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x^{4})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Passaggio 1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.4

$4$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{4}} x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.5

$\frac{4}{x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{3 x^{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x (3 x^{2})}$

Passaggio 5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 (x^{1} x^{2})}$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{1 + 2}}$

Passaggio 5.4

Somma $1$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{3}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{4}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $0$ .

$0$