Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Passaggio 1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{- \frac{y^{2}}{b^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{y^{2}}{b^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Dividi $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2}}}{1}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Dividi $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $b^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $b^{2}$ .

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Passaggio 1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Passaggio 1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.4.2.1

Semplifica $(- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$ .

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Passaggio 1.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = - 1 b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Passaggio 1.4.2.1.2

Riscrivi $- 1 b^{2}$ come $- b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Passaggio 1.4.2.1.3

$\frac{x^{2}}{a^{2}}$ e $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2}}$

Passaggio 1.4.2.1.4

Semplifica con la commutazione.

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Passaggio 1.4.2.1.4.1

Riordina $x^{2}$ e $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$

Passaggio 1.4.2.1.4.2

Riordina $- b^{2}$ e $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $b^{2}$ da $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$ .

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Passaggio 1.5.2.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- b^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1)}$

Passaggio 1.5.2.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ come ${(\frac{x}{a})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 1.5.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x}{a}$ e $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + 1) (\frac{x}{a} - 1)}$

Passaggio 1.5.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + \frac{a}{a}) (\frac{x}{a} - 1)}$

Passaggio 1.5.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1)}$

Passaggio 1.5.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1 \cdot \frac{a}{a})}$

Passaggio 1.5.2.8

$- 1$ e $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} + \frac{- a}{a})}$

Passaggio 1.5.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} \frac{x - a}{a}}$

Passaggio 1.5.2.10

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.5.2.10.1

$b^{2}$ e $\frac{x + a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a)}{a} \cdot \frac{x - a}{a}}$

Passaggio 1.5.2.10.2

Moltiplica $\frac{b^{2} (x + a)}{a}$ per $\frac{x - a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a \cdot a}}$

Passaggio 1.5.2.10.3

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a}}$

Passaggio 1.5.2.10.4

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a^{1}}}$

Passaggio 1.5.2.10.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1 + 1}}}$

Passaggio 1.5.2.10.6

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}}$

Passaggio 1.5.2.11

Riscrivi $\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}$ come ${(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))$ .

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Passaggio 1.5.2.11.1

Scomponi la potenza perfetta $b^{2}$ su $b^{2} (x + a) (x - a)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2}}}$

Passaggio 1.5.2.11.2

Scomponi la potenza perfetta $a^{2}$ su $a^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 1.5.2.11.3

Riordina la frazione $\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))}$

Passaggio 1.5.2.12

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{(x + a) (x - a)}$

Passaggio 1.5.2.13

$\frac{b}{a}$ e $\sqrt{(x + a) (x - a)}$ .

$y = \pm \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Passaggio 1.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.5.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.