Calcolo Esempi

$36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576 = 0$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = - 192$ e $c = 36 x^{2} + 288 x + 576$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ come ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 192$ e $b = 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.3

Moltiplica $6$ per $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.4

Moltiplica $8$ per $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.5

Somma $- 192$ e $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.6

Somma $48 x$ e $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.3.7.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.4.2

Moltiplica $6$ per $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.4.3

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.5

Sottrai $192$ da $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.6

Scomponi $48$ da $- 48 x - 384$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.6.1

Scomponi $48$ da $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.6.2

Scomponi $48$ da $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.6.3

Scomponi $48$ da $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.7

Moltiplica $48$ per $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.8

Riscrivi $2304 x (- x - 8)$ come $48^{2} (x (- x - 8))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.8.1

Riscrivi $2304$ come $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ come ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.2

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.3

Moltiplica $6$ per $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.4

Moltiplica $8$ per $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.5

Somma $- 192$ e $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.6

Somma $48 x$ e $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.3.7.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.4.2

Moltiplica $6$ per $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.4.3

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.5

Sottrai $192$ da $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.6

Scomponi $48$ da $- 48 x - 384$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.6.1

Scomponi $48$ da $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.6.2

Scomponi $48$ da $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.6.3

Scomponi $48$ da $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.7

Moltiplica $48$ per $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.8

Riscrivi $2304 x (- x - 8)$ come $48^{2} (x (- x - 8))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.8.1

Riscrivi $2304$ come $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{12 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.4.5

Scomponi $3$ da $12 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$y = \frac{3 \cdot 4 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.4.5.2

Scomponi $3$ da $3 \cdot 4 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ come ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.2

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.3

Moltiplica $6$ per $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.4

Moltiplica $8$ per $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.5

Somma $- 192$ e $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.6

Somma $48 x$ e $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.3.7.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $6$ per $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.4.3

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.5

Sottrai $192$ da $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.6

Scomponi $48$ da $- 48 x - 384$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.6.1

Scomponi $48$ da $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.6.2

Scomponi $48$ da $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.6.3

Scomponi $48$ da $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.7

Moltiplica $48$ per $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.8

Riscrivi $2304 x (- x - 8)$ come $48^{2} (x (- x - 8))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.8.1

Riscrivi $2304$ come $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{12 - 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $3$ da $12 - 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$y = \frac{3 (4) - 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Passaggio 1.5.5.2

Scomponi $3$ da $- 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

$y = \frac{3 (4) + 3 (- \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Passaggio 1.5.5.3

Scomponi $3$ da $3 (4) + 3 (- \sqrt{x (- x - 8)})$ .

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Passaggio 1.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2} \to f (x) = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2} \to f (x) = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $2$ per $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 y^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$72 x + 16 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$72 x + 16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$72 x + 16 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$72 x + 16 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$72 x + 16 (2 y y') + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $2$ per $16$ .

$72 x + 32 y y' + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [288 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché $288$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $288 x$ rispetto a $x$ è $288 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x + 32 y y' + 288 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$72 x + 32 y y' + 288 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $288$ per $1$ .

$72 x + 32 y y' + 288 + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 192 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Poiché $- 192$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 192 y$ rispetto a $x$ è $- 192 \frac{d}{d x} [y]$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y' + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 3.2.6

Poiché $576$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $576$ rispetto a $x$ è $0$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y' + 0$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Somma $72 x + 32 y y' + 288 - 192 y'$ e $0$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y'$

Passaggio 3.2.7.2

Riordina i termini.

$32 y y' + 72 x + 288 - 192 y'$

Passaggio 3.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$32 y y' + 72 x + 288 - 192 y' = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $72 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$32 y y' + 288 - 192 y' = - 72 x$

Passaggio 3.5.1.2

Sottrai $288$ da entrambi i lati dell'equazione.

$32 y y' - 192 y' = - 72 x - 288$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $32 y'$ da $32 y y' - 192 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $32 y'$ da $32 y y'$ .

$32 y' y - 192 y' = - 72 x - 288$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $32 y'$ da $- 192 y'$ .

$32 y' y + 32 y' \cdot - 6 = - 72 x - 288$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $32 y'$ da $32 y' y + 32 y' \cdot - 6$ .

$32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $32 (y - 6)$ ciascun termine in $32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $32 (y - 6)$ ciascun termine in $32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$ .

$\frac{32 y' (y - 6)}{32 (y - 6)} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 y' (y - 6)}{32 (y - 6)} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 6)}{y - 6} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 6)}{y - 6} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 72$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1.1

Scomponi $8$ da $- 72 x$ .

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $8$ da $32 (y - 6)$ .

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{8 (4 (y - 6))} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{8 (4 (y - 6))} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 288$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.3.1

Scomponi $32$ da $- 288$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{32 \cdot - 9}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{32 \cdot - 9}{32 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 9}{y - 6}$

Passaggio 3.5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9}{y - 6}$

Passaggio 3.5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{9}{y - 6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9}{y - 6} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 (y - 6)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{9}{y - 6}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9 \cdot 4}{(y - 6) \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(y - 6) \cdot 4$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 9 x - 9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.5.1

Scomponi $9$ da $- 9 x - 9 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.5.1.1

Scomponi $9$ da $- 9 x$ .

$y' = \frac{9 (- x) - 9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.5.1.2

Scomponi $9$ da $- 9 \cdot 4$ .

$y' = \frac{9 (- x) + 9 (- 1 \cdot 4)}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.5.1.3

Scomponi $9$ da $9 (- x) + 9 (- 1 \cdot 4)$ .

$y' = \frac{9 (- x - 1 \cdot 4)}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y' = \frac{9 (- x - 4)}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{9 (- (x) - 4)}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.6.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{9 (- (x) - 1 (4))}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{9 (- (x + 4))}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.6.4.1

Riscrivi $- (x + 4)$ come $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{9 (- 1 (x + 4))}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.5.3.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$9 (x + 4) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 (x + 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 (x + 4) = 0$ .

$\frac{9 (x + 4)}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (x + 4)}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Dividi $x + 4$ per $1$ .

$x + 4 = \frac{0}{9}$

Passaggio 4.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Dividi $0$ per $9$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$ at $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{(- 4) (- (- 4) - 8)})}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{- 4 (4 - 8)})}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{- 4 \cdot - 4})}{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{16})}{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{4^{2}})}{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 4) = \frac{3 (4 + 4)}{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Somma $4$ e $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 \cdot 8}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (- 4) = \frac{24}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $24$ per $2$ .

$f (- 4) = 12$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$ at $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{(- 4) (- (- 4) - 8)})}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{- 4 (4 - 8)})}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{- 4 \cdot - 4})}{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{16})}{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{4^{2}})}{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 4) = \frac{3 (4 - 1 \cdot 4)}{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - 4)}{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- 4) = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (- 4) = 0$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = 12, y = 0$

$y = 12, y = 0$

Passaggio 8