Calcolo Esempi

$64 x^{2} + 49 y^{2} + 896 x - 784 y + 3136 = 0$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori $a = 49$ , $b = - 784$ e $c = 64 x^{2} + 896 x + 3136$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{784 \pm \sqrt{{(- 784)}^{2} - 4 \cdot (49 \cdot (64 x^{2} + 896 x + 3136))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi $4 \cdot 49 \cdot (64 x^{2} + 896 x + 3136)$ come ${(2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56))}^{2}$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{{(- 784)}^{2} - {(2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56))}^{2}}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 784$ e $b = 2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 14 \cdot (8 x + 56)) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 14 (8 x) + 14 \cdot 56) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.3

Moltiplica $8$ per $14$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 112 x + 14 \cdot 56) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.4

Moltiplica $14$ per $56$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 112 x + 784) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.5

Somma $- 784$ e $784$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(112 x + 0) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.6

Somma $112 x$ e $0$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - (14 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.3.7.2

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 14 (8 x + 56))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 14 (8 x) - 14 \cdot 56)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.4.2

Moltiplica $8$ per $- 14$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 112 x - 14 \cdot 56)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.4.3

Moltiplica $- 14$ per $56$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 112 x - 784)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.5

Sottrai $784$ da $- 784$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 112 x - 1568)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.6

Scomponi $112$ da $- 112 x - 1568$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.6.1

Scomponi $112$ da $- 112 x$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x) - 1568)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.6.2

Scomponi $112$ da $- 1568$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x) + 112 (- 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.6.3

Scomponi $112$ da $112 (- x) + 112 (- 14)$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x \cdot (112 (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.7

Moltiplica $112$ per $112$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{12544 x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.8

Riscrivi $12544 x (- x - 14)$ come $112^{2} (x (- x - 14))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.8.1

Riscrivi $12544$ come $112^{2}$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112^{2} x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112^{2} (x (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$y = \frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{98}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica $\frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{98}$ .

$y = \frac{56 \pm 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi $4 \cdot 49 \cdot (64 x^{2} + 896 x + 3136)$ come ${(2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56))}^{2}$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{{(- 784)}^{2} - {(2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56))}^{2}}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.2

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 14 \cdot (8 x + 56)) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 14 (8 x) + 14 \cdot 56) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.3

Moltiplica $8$ per $14$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 112 x + 14 \cdot 56) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.4

Moltiplica $14$ per $56$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 112 x + 784) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.5

Somma $- 784$ e $784$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(112 x + 0) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.6

Somma $112 x$ e $0$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - (14 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.3.7.2

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 14 (8 x + 56))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 14 (8 x) - 14 \cdot 56)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.4.2

Moltiplica $8$ per $- 14$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 112 x - 14 \cdot 56)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.4.3

Moltiplica $- 14$ per $56$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 112 x - 784)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.5

Sottrai $784$ da $- 784$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 112 x - 1568)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.6

Scomponi $112$ da $- 112 x - 1568$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.6.1

Scomponi $112$ da $- 112 x$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x) - 1568)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.6.2

Scomponi $112$ da $- 1568$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x) + 112 (- 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.6.3

Scomponi $112$ da $112 (- x) + 112 (- 14)$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x \cdot (112 (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.7

Moltiplica $112$ per $112$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{12544 x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.8

Riscrivi $12544 x (- x - 14)$ come $112^{2} (x (- x - 14))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.8.1

Riscrivi $12544$ come $112^{2}$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112^{2} x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112^{2} (x (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$y = \frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{98}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica $\frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{98}$ .

$y = \frac{56 \pm 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{56 + 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.4.5

Scomponi $8$ da $56 + 8 \sqrt{x (- x - 14)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $8$ da $56$ .

$y = \frac{8 \cdot 7 + 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.4.5.2

Scomponi $8$ da $8 \cdot 7 + 8 \sqrt{x (- x - 14)}$ .

$y = \frac{8 (7 + \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

Passaggio 1.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi $4 \cdot 49 \cdot (64 x^{2} + 896 x + 3136)$ come ${(2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56))}^{2}$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{{(- 784)}^{2} - {(2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56))}^{2}}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.2

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 14 \cdot (8 x + 56)) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 14 (8 x) + 14 \cdot 56) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.3

Moltiplica $8$ per $14$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 112 x + 14 \cdot 56) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.4

Moltiplica $14$ per $56$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(- 784 + 112 x + 784) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.5

Somma $- 784$ e $784$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{(112 x + 0) (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.6

Somma $112 x$ e $0$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - (2 \cdot 7 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - (14 \cdot (8 x + 56)))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.3.7.2

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 14 (8 x + 56))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 14 (8 x) - 14 \cdot 56)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $8$ per $- 14$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 112 x - 14 \cdot 56)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.4.3

Moltiplica $- 14$ per $56$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 784 - 112 x - 784)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.5

Sottrai $784$ da $- 784$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (- 112 x - 1568)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.6

Scomponi $112$ da $- 112 x - 1568$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.6.1

Scomponi $112$ da $- 112 x$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x) - 1568)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.6.2

Scomponi $112$ da $- 1568$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x) + 112 (- 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.6.3

Scomponi $112$ da $112 (- x) + 112 (- 14)$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x (112 (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112 x \cdot (112 (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.7

Moltiplica $112$ per $112$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{12544 x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.8

Riscrivi $12544 x (- x - 14)$ come $112^{2} (x (- x - 14))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.8.1

Riscrivi $12544$ come $112^{2}$ .

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112^{2} x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{784 \pm \sqrt{112^{2} (x (- x - 14))}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$y = \frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{98}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica $\frac{784 \pm 112 \sqrt{x (- x - 14)}}{98}$ .

$y = \frac{56 \pm 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{56 - 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $8$ da $56 - 8 \sqrt{x (- x - 14)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $8$ da $56$ .

$y = \frac{8 (7) - 8 \sqrt{x (- x - 14)}}{7}$

Passaggio 1.5.5.2

Scomponi $8$ da $- 8 \sqrt{x (- x - 14)}$ .

$y = \frac{8 (7) + 8 (- \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

Passaggio 1.5.5.3

Scomponi $8$ da $8 (7) + 8 (- \sqrt{x (- x - 14)})$ .

$y = \frac{8 (7 - \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

Passaggio 1.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{8 (7 + \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

$y = \frac{8 (7 - \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

$y = \frac{8 (7 + \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

$y = \frac{8 (7 - \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{8 (7 + \sqrt{x (- x - 14)})}{7} \to f (x) = \frac{8 (7 + \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

$y = \frac{8 (7 - \sqrt{x (- x - 14)})}{7} \to f (x) = \frac{8 (7 - \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $64 x^{2} + 49 y^{2} + 896 x - 784 y + 3136 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (64 x^{2} + 49 y^{2} + 896 x - 784 y + 3136) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{2} + 49 y^{2} + 896 x - 784 y + 3136$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 y^{2}] + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 y^{2}] + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{2}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 y^{2}] + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 y^{2}] + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $2$ per $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [49 y^{2}] + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [49 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49 y^{2}$ rispetto a $x$ è $49 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$128 x + 49 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$128 x + 49 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$128 x + 49 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$128 x + 49 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$128 x + 49 (2 y y') + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $2$ per $49$ .

$128 x + 98 y y' + \frac{d}{d x} [896 x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [896 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché $896$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $896 x$ rispetto a $x$ è $896 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 x + 98 y y' + 896 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$128 x + 98 y y' + 896 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $896$ per $1$ .

$128 x + 98 y y' + 896 + \frac{d}{d x} [- 784 y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 784 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Poiché $- 784$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 784 y$ rispetto a $x$ è $- 784 \frac{d}{d x} [y]$ .

$128 x + 98 y y' + 896 - 784 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$128 x + 98 y y' + 896 - 784 y' + \frac{d}{d x} [3136]$

Passaggio 3.2.6

Poiché $3136$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3136$ rispetto a $x$ è $0$ .

$128 x + 98 y y' + 896 - 784 y' + 0$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Somma $128 x + 98 y y' + 896 - 784 y'$ e $0$ .

$128 x + 98 y y' + 896 - 784 y'$

Passaggio 3.2.7.2

Riordina i termini.

$98 y y' + 128 x + 896 - 784 y'$

Passaggio 3.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$98 y y' + 128 x + 896 - 784 y' = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $128 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$98 y y' + 896 - 784 y' = - 128 x$

Passaggio 3.5.1.2

Sottrai $896$ da entrambi i lati dell'equazione.

$98 y y' - 784 y' = - 128 x - 896$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $98 y'$ da $98 y y' - 784 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $98 y'$ da $98 y y'$ .

$98 y' y - 784 y' = - 128 x - 896$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $98 y'$ da $- 784 y'$ .

$98 y' y + 98 y' \cdot - 8 = - 128 x - 896$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $98 y'$ da $98 y' y + 98 y' \cdot - 8$ .

$98 y' (y - 8) = - 128 x - 896$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $98 (y - 8)$ ciascun termine in $98 y' (y - 8) = - 128 x - 896$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $98 (y - 8)$ ciascun termine in $98 y' (y - 8) = - 128 x - 896$ .

$\frac{98 y' (y - 8)}{98 (y - 8)} = \frac{- 128 x}{98 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $98$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{98 y' (y - 8)}{98 (y - 8)} = \frac{- 128 x}{98 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 8)}{y - 8} = \frac{- 128 x}{98 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 8)}{y - 8} = \frac{- 128 x}{98 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 128 x}{98 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 128$ e $98$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 128 x$ .

$y' = \frac{2 (- 64 x)}{98 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $98 (y - 8)$ .

$y' = \frac{2 (- 64 x)}{2 (49 (y - 8))} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- 64 x)}{2 (49 (y - 8))} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 64 x}{49 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} + \frac{- 896}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 896$ e $98$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.3.1

Scomponi $14$ da $- 896$ .

$y' = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} + \frac{14 (- 64)}{98 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.1

Scomponi $14$ da $98 (y - 8)$ .

$y' = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} + \frac{14 (- 64)}{14 (7 (y - 8))}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} + \frac{14 \cdot - 64}{14 (7 (y - 8))}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} + \frac{- 64}{7 (y - 8)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} - \frac{64}{7 (y - 8)}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{64 x}{49 (y - 8)} - \frac{64}{7 (y - 8)}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{64 x}{49 (y - 8)} - \frac{64}{7 (y - 8)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $\frac{64}{7 (y - 8)}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{64 x}{49 (y - 8)} = \frac{64}{7 (y - 8)}$

Passaggio 4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{64 x}{49 (y - 8)} = \frac{64}{7 (y - 8)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{64 x}{49 (y - 8)} = \frac{64}{7 (y - 8)}$ .

$\frac{- \frac{64 x}{49 (y - 8)}}{- 1} = \frac{\frac{64}{7 (y - 8)}}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{64 x}{49 (y - 8)}}{1} = \frac{\frac{64}{7 (y - 8)}}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\frac{64 x}{49 (y - 8)}$ per $1$ .

$\frac{64 x}{49 (y - 8)} = \frac{\frac{64}{7 (y - 8)}}{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{64}{7 (y - 8)}}{- 1}$ .

$\frac{64 x}{49 (y - 8)} = - 1 \cdot \frac{64}{7 (y - 8)}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{64}{7 (y - 8)}$ come $- \frac{64}{7 (y - 8)}$ .

$\frac{64 x}{49 (y - 8)} = - \frac{64}{7 (y - 8)}$

Passaggio 4.3

Moltiplica ogni lato per $49 (y - 8)$ .

$\frac{64 x}{49 (y - 8)} (49 (y - 8)) = - \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Semplifica $\frac{64 x}{49 (y - 8)} (49 (y - 8))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$49 \frac{64 x}{49 (y - 8)} (y - 8) = - \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$49 \frac{64 x}{49 (y - 8)} (y - 8) = - \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{64 x}{y - 8} (y - 8) = - \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 x}{y - 8} (y - 8) = - \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$64 x = - \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica $- \frac{64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $7 (y - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{64}{7 (y - 8)}$ nel numeratore.

$64 x = \frac{- 64}{7 (y - 8)} (49 (y - 8))$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Scomponi $7 (y - 8)$ da $49 (y - 8)$ .

$64 x = \frac{- 64}{7 (y - 8)} (7 (y - 8) (7))$

Passaggio 4.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$64 x = \frac{- 64}{7 (y - 8)} (7 (y - 8) \cdot 7)$

Passaggio 4.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$64 x = - 64 \cdot 7$

Passaggio 4.4.2.1.2

Moltiplica $- 64$ per $7$ .

$64 x = - 448$

Passaggio 4.5

Dividi per $64$ ciascun termine in $64 x = - 448$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per $64$ ciascun termine in $64 x = - 448$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{- 448}{64}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 x}{64} = \frac{- 448}{64}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 448}{64}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi $- 448$ per $64$ .

$x = - 7$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \frac{8 (7 + \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$ at $x = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = \frac{8 (7 + \sqrt{(- 7) (- (- 7) - 14)})}{7}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 + \sqrt{- 7 (7 - 14)})}{7}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $14$ da $7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 + \sqrt{- 7 \cdot - 7})}{7}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 + \sqrt{49})}{7}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 + \sqrt{7^{2}})}{7}$

Passaggio 5.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 7) = \frac{8 (7 + 7)}{7}$

Passaggio 5.2.1.6

Somma $7$ e $7$ .

$f (- 7) = \frac{8 \cdot 14}{7}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $8$ per $14$ .

$f (- 7) = \frac{112}{7}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $112$ per $7$ .

$f (- 7) = 16$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = \frac{8 (7 - \sqrt{x (- x - 14)})}{7}$ at $x = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = \frac{8 (7 - \sqrt{(- 7) (- (- 7) - 14)})}{7}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 - \sqrt{- 7 (7 - 14)})}{7}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $14$ da $7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 - \sqrt{- 7 \cdot - 7})}{7}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 - \sqrt{49})}{7}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 - \sqrt{7^{2}})}{7}$

Passaggio 6.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 7) = \frac{8 (7 - 1 \cdot 7)}{7}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (- 7) = \frac{8 (7 - 7)}{7}$

Passaggio 6.2.1.7

Sottrai $7$ da $7$ .

$f (- 7) = \frac{8 \cdot 0}{7}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (- 7) = \frac{0}{7}$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $0$ per $7$ .

$f (- 7) = 0$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = 16, y = 0$

$y = 16, y = 0$

Passaggio 8