Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ è indefinita.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ da sinistra e $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ da destra, allora $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ da sinistra e $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ da destra, allora $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ è un asintoto verticale.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Passaggio 5.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Passaggio 5.6.1.2

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Passaggio 5.6.2.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.6.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.6.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.6.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.6.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.6.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.6.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.6.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.6.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Passaggio 6.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Passaggio 6.6.1.2

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Passaggio 6.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Passaggio 6.6.2.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Passaggio 6.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Passaggio 6.6.4

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 6.6.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.5.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.6.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.6.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 6.6.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.6.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 6.6.5.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.6.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.6.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.6.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 6.6.5.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 7

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Asintoti orizzontali: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 10