Calcolo Esempi

$\frac{1}{9} x^{9} - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{9} x^{9} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{9} x^{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$\frac{1}{9} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.3

$9$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{9}{9} x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{9}{9}$ e $x^{8}$ .

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{8}$ per $1$ .

$x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{8} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{8} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{8} - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{8} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$f'' (x) = 8 x^{7} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 8 x^{7} + 0$

Passaggio 2.4

Somma $8 x^{7}$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 x^{7}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{8} - 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{9} x^{9} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{9} x^{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$\frac{1}{9} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.3

$9$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{9}{9} x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{9}{9}$ e $x^{8}$ .

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $x^{8}$ per $1$ .

$x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{8} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{8} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{8} - 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{8} - 1$ .

$x^{8} - 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{8} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{8} - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{8} = 1$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[8]{1}$

Passaggio 5.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$8 {(1)}^{7}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 \cdot 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{9} \cdot {(1)}^{9} - (1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{9} \cdot 1 - (1)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{9} - (1)$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{9} - 1$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 11.2.3

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (1) = \frac{1 - 9}{9}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 8}{9}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{8}{9}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{8}{9}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$8 {(- 1)}^{7}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$8 \cdot - 1$

Passaggio 13.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{9} - (- 1)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $9$ .

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot - 1 - (- 1)$

Passaggio 15.2.1.2

$\frac{1}{9}$ e $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{9} - (- 1)$

Passaggio 15.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - (- 1)$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + 1$

Passaggio 15.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + \frac{9}{9}$

Passaggio 15.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 9}{9}$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $- 1$ e $9$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9}$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $\frac{8}{9}$ .

$y = \frac{8}{9}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{9} x^{9} - x$ .

$(1, - \frac{8}{9})$ è un minimo locale

$(- 1, \frac{8}{9})$ è un massimo locale

Passaggio 17