Calcolo Esempi

$f (x) = 7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{20}$ e $g (x) = x^{2} - 10 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 10 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 20$ .

$7 (20 u^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 10 x$ .

$7 (20 {(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $20$ per $7$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 10 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$f' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $140$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$ rispetto a $x$ è $140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$ .

$140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ e $g (x) = 2 x - 10$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [2 x - 10] + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + 0) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \cdot 2 + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} - 10 x)}^{19}$ .

$140 (2 \cdot {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{19}$ e $g (x) = x^{2} - 10 x$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 10 x$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (\frac{d}{d u} [u^{19}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 19$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 u^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 10 x$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Passaggio 2.5

Differenzia.

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Passaggio 2.5.1

Sposta $19$ alla sinistra di $2 x - 10$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 \cdot (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 10 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

Passaggio 2.5.4

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \cdot 1))$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10))$

Passaggio 2.6

Eleva $2 x - 10$ alla potenza di $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} (2 x - 10)) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.7

Eleva $2 x - 10$ alla potenza di $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} {(2 x - 10)}^{1}) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{1 + 1} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.9

Somma $1$ e $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.10

Semplifica.

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Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19}) + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $140$ .

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.10.3

Moltiplica $19$ per $140$ .

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 ({(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ da $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ .

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Passaggio 2.10.4.1

Scomponi $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ da $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$

Passaggio 2.10.4.2

Scomponi $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ da $2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$

Passaggio 2.10.4.3

Scomponi $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ da $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$ .

$f'' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$