Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sin (x) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$4 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 1.2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$- 4 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 4 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $4 \sin (x)$ da $- 4 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $4 \sin (x)$ da $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cdot - 1 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.3.2

Scomponi $4 \sin (x)$ da $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.3.3

Scomponi $4 \sin (x)$ da $4 \sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$4 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

Imposta $- 1 - 2 \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $- 1 - 2 \cos (x)$ uguale a $0$ .

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $- 1 - 2 \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos (x) = 1$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2.6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.6.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.8

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Passaggio 3.2

Sostituisci $\frac{2 π}{3}$ in $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sin (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sin (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 3.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (2) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 3.2.2.1.4

Moltiplica $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Per scrivere $2 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

$2 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2.4.2

Sottrai $\sqrt{3}$ da $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2.5

La risposta finale è $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3

Il punto trovato sostituendo $\frac{2 π}{3}$ in $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ è $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 3.4

Sostituisci $\frac{4 π}{3}$ in $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (- \sin (\frac{π}{3})) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (2) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \sqrt{3}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 3.4.2.1.5

Moltiplica $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.5.1

$2$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 (4 π)}{3})$

Passaggio 3.4.2.1.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{8 π}{3})$

Passaggio 3.4.2.1.6

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 3.4.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.4.2.1.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Per scrivere $- 2 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

$- 2 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.4.2

Somma $- 4 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.4.2.6

La risposta finale è $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.5

Il punto trovato sostituendo $\frac{4 π}{3}$ in $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ è $(\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 3.6

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $1.19401098$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty,)$ .

Crescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, \frac{2 π}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.04719755$ nell'espressione.

$f'' (1.04719755) = - 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2 (1.04719755))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $1.04719755$ .

$f'' (1.04719755) = - 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$ .

$- 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$

Passaggio 6.3

Per $1.04719755$ , la derivata seconda è $- 6.92820323$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(, \frac{2 π}{3})$ .

Decrescente su $(, \frac{2 π}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.14159265$ nell'espressione.

$f'' (3.14159265) = - 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $- 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $3.14159265$ , la derivata seconda è $2.26621555 E - 15$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ .

Crescente su $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.2887902$ nell'espressione.

$f'' (4.2887902) = - 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (2 (4.2887902))$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $4.2887902$ .

$f'' (4.2887902) = - 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$

Passaggio 8.2.2

La risposta finale è $- 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$ .

$- 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $4.2887902$ , la derivata seconda è $0.64875081$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ .

$(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 10