Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 2.1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.2.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.1.3.3.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{1 + - \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.3.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1.3.8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - e^{x}}$

Passaggio 2.1.3.9

Sottrai $e^{x}$ da $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- e^{x}}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- e^{x}}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.1.4.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.2.1

Calcola il limite di $- 1 \cdot 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{0 + 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

Passaggio 3.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{0 + 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{0 + 1}{1 - lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.4

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0 + 1}{1 - 0}$

Passaggio 3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.5.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 3.5.3

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = - 1, 1$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 1, 1$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7