Calcolo Esempi

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 2)}^{2}$ ; $(2, - 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = - 4$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \cdot - 1$

Passaggio 1.3.11.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - 1 \cdot {(x^{2} - 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.11.3

Riscrivi $- 1 {(x^{2} - 2)}^{2}$ come $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Passaggio 1.4.4

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x$ .

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $x^{2} - 2$ da $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$

Passaggio 1.4.5

Riordina i fattori di $(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.4.6.2.1

Sposta $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 2) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.6.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.7

Sottrai $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

Passaggio 1.4.8

Espandi $(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.4

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.9.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} - 4$

Passaggio 1.4.10

Somma $10 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 4$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 8 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$32 - 16 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$32 - 16 - 5 \cdot 16 + 12 {(2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6.1.5

Moltiplica $- 5$ per $16$ .

$32 - 16 - 80 + 12 {(2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$32 - 16 - 80 + 12 \cdot 4 - 4$

Passaggio 1.6.1.7

Moltiplica $12$ per $4$ .

$32 - 16 - 80 + 48 - 4$

Passaggio 1.6.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Sottrai $16$ da $32$ .

$16 - 80 + 48 - 4$

Passaggio 1.6.2.2

Sottrai $80$ da $16$ .

$- 64 + 48 - 4$

Passaggio 1.6.2.3

Somma $- 64$ e $48$ .

$- 16 - 4$

Passaggio 1.6.2.4

Sottrai $4$ da $- 16$ .

$- 20$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- 20$ e un punto dato $(2, - 4)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 20 \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 20 \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 4 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 4 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 20$ per $- 2$ .

$y + 4 = - 20 x + 40$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 20 x + 40 - 4$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $4$ da $40$ .

$y = - 20 x + 36$

Passaggio 3