Calcolo Esempi

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $x^{2} - x + 25$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Riordina $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 + x$ e $g (x) = 5 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (5 - x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- 1 \cdot 1) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $5 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- 1 \cdot (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.6.3

Riscrivi $- 1 (5 + x)$ come $- (5 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \cdot 1) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.4.11

Moltiplica $5 - x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 (x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $x^{2} - x + 25$ da ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $x^{2} - x + 25$ da ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2.2

Scomponi $x^{2} - x + 25$ da $- 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2.3

Scomponi $x^{2} - x + 25$ da $(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Passaggio 3.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $x^{2} - x + 25$ da ${(x^{2} - x + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.14

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.2

Combina i termini opposti in $- 5 - x + 5 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.2.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x + 0 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.2.2

Somma $- x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 x) - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.5.3

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.6.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.6.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.6.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.7

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.8

Espandi $(- 10 - 2 x) (5 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 (5 - x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.9.1.1

Moltiplica $- 10$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.1.3

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.9.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x^{2})) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.2

Sottrai $10 x$ da $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 0 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.9.3

Somma $- 50$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.10

Espandi $(- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x - 1) + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.11.1

Moltiplica $2$ per $- 50$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.2

Moltiplica $- 50$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.11.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.1.11.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.1.11.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.2

Combina i termini opposti in $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.3.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.2.2

Somma $- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.3

Somma $- 2 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.3.4

Sottrai $100 x$ da $- 50 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.4

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 150 x + 50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.4.2

Scomponi $2$ da $- 150 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) + 2 (- 75 x) + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.4.3

Scomponi $2$ da $50$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 (- 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.4.4

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 (- 75 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.15.4.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x + 25)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $x^{2} - x + 25$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.8

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.9

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.4

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.2.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2.2

Somma $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.2

Riordina $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $5 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $5 + x$ uguale a $0$ .

$5 + x = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6.3.3

Imposta $5 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $5 - x$ uguale a $0$ .

$5 - x = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Risolvi $5 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 5$

Passaggio 6.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x = 5$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 + x) (5 - x) = 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 5, 5$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(- 5)}^{3} - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (- 125 - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 75$ per $- 5$ .

$\frac{2 (- 125 + 375 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Somma $- 125$ e $375$ .

$\frac{2 (250 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Somma $250$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 - (- 5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 + 5 + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Somma $25$ e $5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(30 + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4

Somma $30$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{55^{3}}$

Passaggio 10.2.5

Eleva $55$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot 275}{166375}$

Passaggio 10.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2$ per $275$ .

$\frac{550}{166375}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $550$ e $166375$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $275$ da $550$ .

$\frac{275 (2)}{166375}$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $275$ da $166375$ .

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{605}$

Passaggio 11

$x = - 5$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 5$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

Passaggio 12.2.1.3

Somma $25$ e $5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{30 + 25}$

Passaggio 12.2.1.4

Somma $30$ e $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{55}$

Passaggio 12.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $55$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{55}$

Passaggio 12.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.2.1

Scomponi $5$ da $55$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Passaggio 12.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Passaggio 12.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5) = \frac{- 1}{11}$

Passaggio 12.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 5) = - \frac{1}{11}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{1}{11}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 75 \cdot 5 + 25)}{{({(5)}^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (125 - 75 \cdot 5 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 75$ per $5$ .

$\frac{2 (125 - 375 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.1.3

Sottrai $375$ da $125$ .

$\frac{2 (- 250 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4

Somma $- 250$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - (5) + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - 5 + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.2.3

Sottrai $5$ da $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(20 + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4

Somma $20$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{45^{3}}$

Passaggio 14.2.5

Eleva $45$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{91125}$

Passaggio 14.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $2$ per $- 225$ .

$\frac{- 450}{91125}$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune di $- 450$ e $91125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Scomponi $225$ da $- 450$ .

$\frac{225 (- 2)}{91125}$

Passaggio 14.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Scomponi $225$ da $91125$ .

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Passaggio 14.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{405}$

Passaggio 14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{405}$

Passaggio 15

$x = 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ e ${(5)}^{2} - (5) + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

Passaggio 16.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.1

Scomponi $5$ da $5^{2}$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

Passaggio 16.2.1.2.2

Scomponi $5$ da $- (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

Passaggio 16.2.1.2.3

Scomponi $5$ da $5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

Passaggio 16.2.1.2.4

Scomponi $5$ da $25$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

Passaggio 16.2.1.2.5

Scomponi $5$ da $5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Passaggio 16.2.1.2.6

Elimina il fattore comune.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Passaggio 16.2.1.2.7

Riscrivi l'espressione.

$f (5) = \frac{1}{5 - 1 + 5}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$f (5) = \frac{1}{4 + 5}$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $4$ e $5$ .

$f (5) = \frac{1}{9}$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ .

$(- 5, - \frac{1}{11})$ è un minimo locale

$(5, \frac{1}{9})$ è un massimo locale

Passaggio 18