Calcolo Esempi

$- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ come funzione.

$f (x) = - 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x - 12 \cdot 1$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x - 12$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + 0$

Passaggio 5.1.5.2

Somma $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{3}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $- 12 x$ da $- 24 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (2 x) - 12 x = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (2 x) - 12 x \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (x^{2}) - 12 x (2 x)$ .

$- 12 x (x^{2} + 2 x) - 12 x \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (x^{2} + 2 x) - 12 x (1)$ .

$- 12 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 12 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- 12 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 12 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 x {(x + 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 - 12$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 - 12$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$0 - 48 \cdot 0 - 12$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 48$ per $0$ .

$0 + 0 - 12$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 12$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$- 12$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 3 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 12.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 12.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 1$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 12.2.2.3

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 {(- 1)}^{2} - 48 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 36 \cdot 1 - 48 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$- 36 - 48 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 48$ per $- 1$ .

$- 36 + 48 - 12$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $- 36$ e $48$ .

$12 - 12$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - 12 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = - 12 \cdot - 64 - 24 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 15.2.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = 768 - 24 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 15.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 768 - 24 \cdot 16 - 12 \cdot - 4$

Passaggio 15.2.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $16$ .

$f' (- 4) = 768 - 384 - 12 \cdot - 4$

Passaggio 15.2.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = 768 - 384 + 48$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Sottrai $384$ da $768$ .

$f' (- 4) = 384 + 48$

Passaggio 15.2.2.2.2

Somma $384$ e $48$ .

$f' (- 4) = 432$

Passaggio 15.2.2.3

La risposta finale è $432$ .

$432$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = - 12 {(- 0.5)}^{3} - 24 {(- 0.5)}^{2} - 12 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.5) = - 12 \cdot - 0.125 - 24 {(- 0.5)}^{2} - 12 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $- 0.125$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 24 {(- 0.5)}^{2} - 12 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.3.2.1.3

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 24 \cdot 0.25 - 12 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.3.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 6 - 12 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.3.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 6 + 6$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Sottrai $6$ da $1.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4.5 + 6$

Passaggio 15.3.2.2.2

Somma $- 4.5$ e $6$ .

$f' (- 0.5) = 1.5$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $1.5$ .

$1.5$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 12 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - 12 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$f' (2) = - 96 - 24 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 15.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - 96 - 24 \cdot 4 - 12 \cdot 2$

Passaggio 15.4.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$f' (2) = - 96 - 96 - 12 \cdot 2$

Passaggio 15.4.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$f' (2) = - 96 - 96 - 24$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Sottrai $96$ da $- 96$ .

$f' (2) = - 192 - 24$

Passaggio 15.4.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 192$ .

$f' (2) = - 216$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $- 216$ .

$- 216$

Passaggio 15.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 1$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 16