Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 6 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4}{3} x^{3} - 6 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.5

$\frac{12}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.6.2.4

Dividi $4 x^{2}$ per $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$4 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{2} - 6 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x^{2} - 6$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 6$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{2} - 6$ .

$4 x^{2} - 6$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{2} - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} = 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 6$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{6}{4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{6}{4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{4}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x^{2} = \frac{2 (3)}{4}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.5.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.2247449$ nell'espressione.

$f' (- 2.2247449) = 4 {(- 2.2247449)}^{2} - 6$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.2247449$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.2247449) = 4 \cdot 4.94948987 - 6$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4.94948987$ .

$f' (- 2.2247449) = 19.79795948 - 6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6$ da $19.79795948$ .

$f' (- 2.2247449) = 13.79795948$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $13.79795948$ .

$13.79795948$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2.2247449$ la derivata è $13.79795948$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.2247449, \frac{\sqrt{6}}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 4 {(0)}^{2} - 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 6$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$f' (0) = - 6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 6$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1.2247449, \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.2247449$ nell'espressione.

$f' (2.2247449) = 4 {(2.2247449)}^{2} - 6$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.2247449$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.2247449) = 4 \cdot 4.94948987 - 6$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4.94948987$ .

$f' (2.2247449) = 19.79795948 - 6$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $6$ da $19.79795948$ .

$f' (2.2247449) = 13.79795948$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $13.79795948$ .

$13.79795948$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2.2247449$ la derivata è $13.79795948$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$

Passaggio 9