Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 5 \sqrt{x}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[4, 9]$ o no, trova il dominio di $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[4, 9]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.1.10

$5$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(4, 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $(4, 9)$ o no, trova il dominio di $f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{5}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 4.1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 4.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 4.1.3

Imposta il denominatore in $\frac{5}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 4.1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 4.1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 4.1.4.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.1.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.1.4.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.1.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 4.1.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(4, 9)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(4, 9)$ perché la derivata è continua su $(4, 9)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[4, 9]$ e differenziabile su $(4, 9)$ .

$f (x)$ è continua su $[4, 9]$ e differenziabile su $(4, 9)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[4, 9]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (4) = 5 \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (4) = 5 \cdot 2$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (4) = 10$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[4, 9]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (9) = 5 \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 8.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (9) = 5 \cdot 3$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f (9) = 15$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (9) + f (4))}{- (9 + 4)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{15 - 10}{(9) - (4)}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $10$ da $15$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{(9) - (4)}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{9 - 4}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{5}$

Passaggio 9.1.5

Dividi $5$ per $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 9.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $2 x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ per $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$5 = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$5 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} = 5$

Passaggio 9.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 9.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 9.4.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 9.4.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 9.4.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 9.4.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 9.4.4.1.1.2

Semplifica.

$x = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 9.4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.2.1

Semplifica ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 9.4.4.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{25}{2^{2}}$

Passaggio 9.4.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{25}{4}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{25}{4}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 4$ e $b = 9$ .

C'è una tangente con $x = \frac{25}{4}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 4$ e $b = 9$

Passaggio 11