Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 108$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $108$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.2.2

Somma $216 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $216$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 108)}^{2}$ per $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 108$ da ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 108$ da ${(x^{2} + 108)}^{2}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 108$ da $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 108$ da $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 108$ da ${(x^{2} + 108)}^{4}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 108$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $108$ rispetto a $x$ è $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.16

$216$ e $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.2.2

Moltiplica $216$ per $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.3.1

Scomponi $648$ da $- 648 x^{2} + 23328$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.3.1.1

Scomponi $648$ da $- 648 x^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.3.1.2

Scomponi $648$ da $23328$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.3.1.3

Scomponi $648$ da $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.3.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $6^{2}$ .

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 6$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $6 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $6 + x$ uguale a $0$ .

$6 + x = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 3.3.3

Imposta $6 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $6 - x$ uguale a $0$ .

$6 - x = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $6 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 6$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$x = 6$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ vera.

$x = - 6, 6$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $36$ e $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

Passaggio 4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Scomponi $36$ da $36$ .

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Scomponi $36$ da $144$ .

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- 6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ è $(- 6, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 6, \frac{1}{4})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $36$ e $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

Passaggio 4.3.2.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Scomponi $36$ da $36$ .

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Scomponi $36$ da $144$ .

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (6) = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ è $(6, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(6, \frac{1}{4})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6.1$ nell'espressione.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $6.1$ da $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica $648$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Moltiplica $- 64.8$ per $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $37.21$ e $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

Passaggio 6.2.3.3

Eleva $145.21$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

Passaggio 6.2.4

Dividi $- 784.08$ per $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Passaggio 6.3

Per $- 6.1$ , la derivata seconda è $- 0.00025607$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 6)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 6)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 6, 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Eleva $6 + 0$ alla potenza di $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.1.3

Eleva $6 + 0$ alla potenza di $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $6$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

Passaggio 7.2.3.2

Somma $0$ e $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

Passaggio 7.2.3.3

Eleva $108$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

Passaggio 7.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $648$ per $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

Passaggio 7.2.4.2

Elimina il fattore comune di $23328$ e $1259712$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Scomponi $23328$ da $23328$ .

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

Passaggio 7.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.2.1

Scomponi $23328$ da $1259712$ .

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Passaggio 7.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Passaggio 7.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $0.0\overline{185}$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 6, 6)$ .

Crescente su $(- 6, 6)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.1$ nell'espressione.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $6$ e $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Moltiplica $648$ per $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3.2

Moltiplica $7840.8$ per $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Eleva $6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Passaggio 8.2.3.2

Somma $37.21$ e $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

Passaggio 8.2.3.3

Eleva $145.21$ alla potenza di $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

Passaggio 8.2.4

Dividi $- 784.07999999$ per $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Passaggio 8.3

Per $6.1$ , la derivata seconda è $- 0.00025607$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(6, \infty)$ .

Decrescente su $(6, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Passaggio 10