Calcolo Esempi

$z = u^{\frac{3}{2}} (u + c e^{u})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ è $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ dove $f (c) = u^{\frac{3}{2}}$ e $g (c) = u + c e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d c} [u + c e^{u}] + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $u + c e^{u}$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $u$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $u$ rispetto a $c$ è $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $e^{u}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $c e^{u}$ rispetto a $c$ è $e^{u} \frac{d}{d c} [c]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \frac{d}{d c} [c]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ è $n c^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \cdot 1) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{u}$ per $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u}) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Somma $0$ e $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.2

Poiché $u^{\frac{3}{2}}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $c$ è $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \cdot 0$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + u \cdot 0 + c e^{u} \cdot 0$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $u$ per $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + c e^{u} \cdot 0$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $0$ per $c$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0 e^{u}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $0$ per $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0$

Passaggio 5.2.4

Somma $0$ e $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0$

Passaggio 5.2.5

Somma $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ e $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori di $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ .

$e^{u} u^{\frac{3}{2}}$