Calcolo Esempi

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $3$ e $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Passaggio 1.2

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $i$ uguale a $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Passaggio 3.2

Calcola $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Somma $24$ e $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Moltiplica $24$ per $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.3

Somma $48$ e $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Passaggio 3.2.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $600$ per $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Passaggio 3.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{29400}{3}$

Passaggio 3.2.3.2.3

Dividi $29400$ per $3$ .

$9800$

Passaggio 3.3

Calcola $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Somma $24$ e $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Moltiplica $24$ per $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Passaggio 3.3.3.3

Dividi $600$ per $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Passaggio 3.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $300$ .

$- 300$

Passaggio 3.4

Calcola $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 3.4.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(11) (24)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $11$ per $24$ .

$264$

Passaggio 3.5

Somma i risultati delle sommatorie.

$9800 - 300 + 264$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sottrai $300$ da $9800$ .

$9500 + 264$

Passaggio 3.6.2

Somma $9500$ e $264$ .

$9764$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Espandi la serie per ciascun valore di $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.9

Sottrai $2$ da $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.10

Somma $6$ e $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.11

Somma $12$ e $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.13

Moltiplica $2$ per $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.14

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.15

Sottrai $3$ da $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.16

Somma $15$ e $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.17

Somma $29$ e $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.18

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.19

Moltiplica $2$ per $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Passaggio 4.2.20

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Passaggio 4.2.21

Sottrai $4$ da $32$ .

$55 + 28 + 11$

Passaggio 4.2.22

Somma $28$ e $11$ .

$55 + 39$

Passaggio 4.2.23

Somma $55$ e $39$ .

$94$

Passaggio 5

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$9764 - 94$

Passaggio 6

Sottrai $94$ da $9764$ .

$9670$