Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{5} d t$

Passaggio 1

Trova la derivata di $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{5} d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

Passaggio 9

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{5}$ come $\sqrt{x^{5}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{5}})$

Passaggio 10

$18$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{5}}$

Passaggio 11

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{x^{5}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{5}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Scomponi $2$ da $18 \sqrt{x^{5}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{5}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{5}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{5}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 \sqrt{x^{5}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Riscrivi $\frac{9 \sqrt{x^{5}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ come $\frac{9 (x^{2} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 14.1

Riscrivi $x^{5}$ come ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Passaggio 14.1.1

Metti in evidenza $x^{4}$ .

$\frac{9 \sqrt{x^{4} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{9 (x^{2} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 16.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 x^{2 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{4 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 18

Moltiplica $x^{\frac{5}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}}$

Passaggio 18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 x^{\frac{- 1 + 5}{2}}$

Passaggio 18.4

Somma $- 1$ e $5$ .

$9 x^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 18.5

Dividi $4$ per $2$ .

$9 x^{2}$