Calcolo Esempi

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 9$ e $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} - 81$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ e la cui somma è $b = - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1.1

Scomponi $- 18$ da $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Riscrivi $- 18$ come $- 9$ più $- 9$ .

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.4

Riscrivi $- (x + 9)$ come $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.5

Eleva $x + 9$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.6

Eleva $x + 9$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.8

Elimina il fattore comune di ${(x + 9)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poni $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 9)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $9$ da $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (8) = - 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 8$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 9)$ .

Decrescente su $(- \infty, 9)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(9, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Sottrai $9$ da $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 8.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (10) = - 1$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 10$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(9, \infty)$ .

Decrescente su $(9, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Passaggio 10