Calcolo Esempi

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x - 3 \sqrt[3]{x}$ come funzione.

$f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3 \sqrt[3]{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.2.10

$- 3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.12

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 2.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Passaggio 3.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 3.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica per $x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Passaggio 3.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm 1$

Passaggio 3.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, - 1$ .

$1, - 1$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 5.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.1.6

Moltiplica $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 8.2.1.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $2^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 8.2.2

La risposta finale è $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

$- 0.58740105$

Passaggio 8.4

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $- 0.58740105$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $2^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 9.2.2

La risposta finale è $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

$- 0.58740105$

Passaggio 9.4

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- 0.58740105$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

La risposta finale è $1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3

Semplifica.

$0.37003947$

Passaggio 10.4

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $0.37003947$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (- 1, 0), (0, 1)$

Passaggio 12