Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 4 x + 3 = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 4 x + 3 = - x^{2} + 2 x + 3$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x + 3 + x^{2} = 2 x + 3$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x + 3 + x^{2} - 2 x = 3$

Passaggio 1.2.1.3

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 4 x + 3 - 2 x = 3$

Passaggio 1.2.1.4

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 6 x + 3 = 3$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 6 x + 3 - 3 = 0$

Passaggio 1.2.3

Combina i termini opposti in $2 x^{2} - 6 x + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$2 x^{2} - 6 x + 0 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $2 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$2 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 6 x = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 3) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0 + y = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 0^{2} + 2 (0) + 3$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $- 0^{2} + 2 (0) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = - 0 + 2 (0) + 3$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$y = 0 + 2 (0) + 3$

Passaggio 1.3.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 3$

Passaggio 1.3.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 3$

Passaggio 1.3.2.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$y = 3$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 3$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $3$ per $x$ in $y = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 3^{2} + 2 (3) + 3$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica $- 3^{2} + 2 (3) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = - 1 \cdot 9 + 2 (3) + 3$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$y = - 9 + 2 (3) + 3$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = - 9 + 6 + 3$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Somma $- 9$ e $6$ .

$y = - 3 + 3$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $- 3$ e $3$ .

$y = 0$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 3)$

$(3, 0)$

$(0, 3)$

$(3, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x - \int_{0}^{3} x^{2} - 4 x + 3 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

Passaggio 3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Combina i termini opposti in $- x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} + 4 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 x + 0$

Passaggio 3.3.1.2

Somma $- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 x$ e $0$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 x$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 x$

Passaggio 3.3.3

Somma $2 x$ e $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x$

$\int_{0}^{3} - 2 x^{2} + 6 x d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 6 x d x$

Passaggio 3.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 6 \int_{0}^{3} x d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $0$ .

$- 2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $0$ .

$- 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 2 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- 2 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 (9 - \frac{0}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 2 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (9 - \frac{0}{1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 2 (9 - 0) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 (9 + 0) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6

Somma $9$ e $0$ .

$- 2 \cdot 9 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.10.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} - 0)$

Passaggio 3.10.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2} + 0)$

Passaggio 3.10.2.3.12

Somma $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$- 18 + 6 (\frac{9}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.13

$6$ e $\frac{9}{2}$ .

$- 18 + \frac{6 \cdot 9}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.14

Moltiplica $6$ per $9$ .

$- 18 + \frac{54}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.15

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.15.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$- 18 + \frac{2 \cdot 27}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 18 + \frac{2 \cdot 27}{2 (1)}$

Passaggio 3.10.2.3.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 18 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.10.2.3.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 18 + \frac{27}{1}$

Passaggio 3.10.2.3.15.2.4

Dividi $27$ per $1$ .

$- 18 + 27$

Passaggio 3.10.2.3.16

Somma $- 18$ e $27$ .

$9$

Passaggio 4