Calcolo Esempi

$y = (x^{2} - 168) e^{x}$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x^{2} e^{x} - 168 e^{x}$

Passaggio 2

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 168 e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} - 168 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 168 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 168 e^{x}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 e^{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 e^{x}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 168 e^{x}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 168 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 168$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 168 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 168 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 168 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 168 e^{x}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 168 e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 168 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 168 e^{x}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 168 e^{x} = 0$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 168 e^{x}$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 168 e^{x} = 0$

Passaggio 4.1.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 168 e^{x} = 0$

Passaggio 4.1.1.3

Scomponi $e^{x}$ da $- 168 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 168 = 0$

Passaggio 4.1.1.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 168 = 0$

Passaggio 4.1.1.5

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 168$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 168) = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi.

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Passaggio 4.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 168$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 168$ e la cui somma è $2$ .

$- 12, 14$

Passaggio 4.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$e^{x} ((x - 12) (x + 14)) = 0$

Passaggio 4.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{x} (x - 12) (x + 14) = 0$

Passaggio 4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 12 = 0$

$x + 14 = 0$

Passaggio 4.3

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 4.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 4.4

Imposta $x - 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $x - 12$ uguale a $0$ .

$x - 12 = 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 12$

Passaggio 4.5

Imposta $x + 14$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x + 14$ uguale a $0$ .

$x + 14 = 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $14$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 14$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x - 12) (x + 14) = 0$ vera.

$x = 12, - 14$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{2} e^{x} - 168 e^{x}$ con $x = 12$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f (12) = {(12)}^{2} e^{12} - 168 e^{12}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f (12) = 144 e^{12} - 168 e^{12}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $168 e^{12}$ da $144 e^{12}$ .

$f (12) = - 24 e^{12}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 24 e^{12}$ .

$- 24 e^{12}$

Passaggio 6

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{2} e^{x} - 168 e^{x}$ con $x = - 14$ .

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 14$ nell'espressione.

$f (- 14) = {(- 14)}^{2} e^{- 14} - 168 e^{- 14}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 14$ alla potenza di $2$ .

$f (- 14) = 196 e^{- 14} - 168 e^{- 14}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 14) = 196 (\frac{1}{e^{14}}) - 168 e^{- 14}$

Passaggio 6.2.1.3

$196$ e $\frac{1}{e^{14}}$ .

$f (- 14) = \frac{196}{e^{14}} - 168 e^{- 14}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 14) = \frac{196}{e^{14}} - 168 \frac{1}{e^{14}}$

Passaggio 6.2.1.5

$- 168$ e $\frac{1}{e^{14}}$ .

$f (- 14) = \frac{196}{e^{14}} + \frac{- 168}{e^{14}}$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 14) = \frac{196}{e^{14}} - \frac{168}{e^{14}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 14) = \frac{196 - 168}{e^{14}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $168$ da $196$ .

$f (- 14) = \frac{28}{e^{14}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{28}{e^{14}}$ .

$\frac{28}{e^{14}}$

Passaggio 7

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{2} e^{x} - 168 e^{x}$ sono $y = - 24 e^{12}, y = \frac{28}{e^{14}}$ .

$y = - 24 e^{12}, y = \frac{28}{e^{14}}$

Passaggio 8