Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.3.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 x)}{- \sin (x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x)}{- \sin (x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 8

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 11.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{\cos (π)}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 11.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 \frac{- \cos (0)}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 11.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 1}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{- 1}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$2 \frac{- 1}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (\frac{- 1}{- 1})$

Passaggio 11.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 11.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 11.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 11.5.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$