Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Passaggio 1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Passaggio 1.3

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 2$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

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Passaggio 1.3.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 2$ rimosso.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.3

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 2$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $\frac{1}{- 2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x (e^{x})}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$0$