Calcolo Esempi

$h (s) = s^{3} (s^{2} - 16 s + 8)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ è $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ dove $f (s) = s^{3}$ e $g (s) = s^{2} - 16 s + 8$ .

$s^{3} \frac{d}{d s} [s^{2} - 16 s + 8] + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $s^{2} - 16 s + 8$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$s^{3} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$s^{3} (2 s + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- 16 s$ rispetto a $s$ è $- 16 \frac{d}{d s} [s]$ .

$s^{3} (2 s - 16 \frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s^{3} (2 s - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$s^{3} (2 s - 16 + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $8$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $8$ rispetto a $s$ è $0$ .

$s^{3} (2 s - 16 + 0) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 s - 16$ e $0$ .

$s^{3} (2 s - 16) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$s^{3} (2 s - 16) + (s^{2} - 16 s + 8) (3 s^{2})$

Passaggio 1.2.9

Sposta $3$ alla sinistra di $s^{2} - 16 s + 8$ .

$s^{3} (2 s - 16) + 3 \cdot (s^{2} - 16 s + 8) s^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + 3 (s^{2} - 16 s + 8) s^{2}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + (3 s^{2} + 3 (- 16 s) + 3 \cdot 8) s^{2}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $s^{3}$ per $s$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Sposta $s$ .

$s \cdot s^{3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Moltiplica $s$ per $s^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.2.1

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$s^{1} s^{3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s^{1 + 3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$s^{4} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $s^{4}$ .

$2 \cdot s^{4} + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.3

Sposta $- 16$ alla sinistra di $s^{3}$ .

$2 s^{4} - 16 \cdot s^{3} + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $s^{2}$ per $s^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1

Sposta $s^{2}$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 (s^{2} s^{2}) + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{2 + 2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s \cdot s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.6

Moltiplica $s$ per $s^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1

Sposta $s^{2}$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 (s^{2} s) + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.6.2

Moltiplica $s^{2}$ per $s$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.2.1

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 (s^{2} s^{1}) + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{2 + 1} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{3} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $3$ per $8$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{3} + 24 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.8

Somma $2 s^{4}$ e $3 s^{4}$ .

$5 s^{4} - 16 s^{3} - 48 s^{3} + 24 s^{2}$

Passaggio 1.3.4.9

Sottrai $48 s^{3}$ da $- 16 s^{3}$ .

$f' (s) = 5 s^{4} - 64 s^{3} + 24 s^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 s^{4} - 64 s^{3} + 24 s^{2}$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [5 s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$ .

$\frac{d}{d s} [5 s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d s} [5 s^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $5 s^{4}$ rispetto a $s$ è $5 \frac{d}{d s} [s^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d s} [s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 s^{3}) + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 s^{3} + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d s} [- 64 s^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- 64 s^{3}$ rispetto a $s$ è $- 64 \frac{d}{d s} [s^{3}]$ .

$20 s^{3} - 64 \frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 s^{3} - 64 (3 s^{2}) + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 64$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d s} [24 s^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $24 s^{2}$ rispetto a $s$ è $24 \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 24 \frac{d}{d s} [s^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 24 (2 s)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (s) = 20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$

Passaggio 3

La derivata seconda di $h (s)$ rispetto a $s$ è $20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$