Calcolo Esempi

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{5}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $- 15$ .

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{- 15}{x^{2}}$ e ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 5}{x}$ .

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

$15$ e $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1.3.6

Combina.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Passaggio 1.3.7.2

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $15 {(x + 5)}^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ e $g (x) = x^{4}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.6.2

$- 15$ e $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.5.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Sposta $10$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.6

Moltiplica $10$ per $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.7

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.8

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.9.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.9.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.9.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.9.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.11.1

Moltiplica $10$ per $- 4$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.11.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.12

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.14

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.15.1

Moltiplica $- 4$ per $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.15.2

Moltiplica $- 40$ per $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.1.15.3

Moltiplica $- 100$ per $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $60 x^{5}$ da $30 x^{5}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.4.3

Sottrai $600 x^{4}$ da $150 x^{4}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $30 x^{3}$ da $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1

Scomponi $30 x^{3}$ da $- 30 x^{5}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.1.2

Scomponi $30 x^{3}$ da $- 450 x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.1.3

Scomponi $30 x^{3}$ da $- 1500 x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.1.4

Scomponi $30 x^{3}$ da $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.1.5

Scomponi $30 x^{3}$ da $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ e la cui somma è $b = - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1.1

Scomponi $- 15$ da $- 15 x$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.2.1.2

Riscrivi $- 15$ come $- 5$ più $- 10$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 5$ .

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.6

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Scomponi $x^{3}$ da $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 2.6.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 2.6.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.7

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.8

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.9

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.10

Riscrivi $- (x + 5)$ come $- 1 (x + 5)$ .

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.13

Moltiplica $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ per $1$ .

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.14

Riordina i fattori in $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x + 10$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $x + 5$ per $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.8.2

Moltiplica $x + 10$ per $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.8.4

Somma $5$ e $10$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.10

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.10.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.10.2

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.10.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} (2 x + 15)$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.10.2.2

Scomponi $x^{4}$ da $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Passaggio 3.5.10.2.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{10}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

Passaggio 3.7

$30$ e $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ .

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.4

Sposta $15$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.5

Moltiplica $15$ per $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.6

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.7

Espandi $(- 5 x - 25) (x + 10)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.8.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.8.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.8.1.2

Moltiplica $10$ per $- 5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.8.1.3

Moltiplica $- 25$ per $10$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.8.2

Sottrai $25 x$ da $- 50 x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.10.1

Moltiplica $- 5$ per $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.10.2

Moltiplica $- 75$ per $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.10.3

Moltiplica $30$ per $- 250$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.2

Sottrai $150 x^{2}$ da $60 x^{2}$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.3

Sottrai $2250 x$ da $450 x$ .

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5

Scomponi $30$ da $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Scomponi $30$ da $- 90 x^{2}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5.2

Scomponi $30$ da $- 1800 x$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5.3

Scomponi $30$ da $- 7500$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5.4

Scomponi $30$ da $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5.5

Scomponi $30$ da $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.7

Scomponi $- 1$ da $- 60 x$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (60 x)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.9

Riscrivi $- 250$ come $- 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.10

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.11

Riscrivi $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ come $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ .

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$