Calcolo Esempi

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{π}{3}$ in $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ per trovare il valore di $y$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{3}$ in $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ è $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.94719755$ nell'espressione.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Passaggio 6.3

Per $0.94719755$ , la derivata seconda è $- 0.53195951$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.14719755$ nell'espressione.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.14719755$ , la derivata seconda è $0.50208433$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Passaggio 9