Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 10$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.4

Riscrivi $- 20$ come $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.6

Riscrivi $- (x + 20)$ come $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 20 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 20$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 20$ .

$- 20$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 20}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 20)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 21$ nell'espressione.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 21$ e $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 21$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Passaggio 6.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 21$ la derivata è $- \frac{1}{9261}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 20)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 20)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 20, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10$ nell'espressione.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 10$ e $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 10$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $- 1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $10$ da $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Scomponi $10$ da $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Passaggio 7.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 10$ la derivata è $\frac{1}{100}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 20, 0)$ .

Crescente su $(- 20, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $1$ e $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $21$ per $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $- 1$ per $21$ .

$f' (1) = - 21$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $- 21$ .

$- 21$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 21$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 20, 0)$

Decrescente su: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Passaggio 10