Calcolo Esempi

$3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ come funzione.

$f (x) = 3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.3.9

$- 9$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3.11

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 2.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 3.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 3.2.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 3.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.2.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.2.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 3.2.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.2.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.2.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 3.2.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 3.2.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f'' (x) = 0 + 3 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 3.2.16

$3$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.2.17

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{6}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.2.18

Scomponi $3$ da $6$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 3.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 5.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 5.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 5.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 5.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 5.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 5.1.3.9

$- 9$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 5.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.3.11

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 3}{- 3}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Passaggio 6.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm 1$

Passaggio 6.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 6.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 6.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$3 - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{{(1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{1}$

Passaggio 10.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 (1) - 9 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 9 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 - 9 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 9$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $9$ da $3$ .

$f (1) = - 6$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(- 1)}^{5}}$

Passaggio 14.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{2}{- 1}$

Passaggio 14.2

Dividi $2$ per $- 1$ .

$- 2$

Passaggio 15

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 (- 1) - 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 16.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 3 - 9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 16.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 3 - 9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 16.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = - 3 - 9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 16.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = - 3 - 9 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (- 1) = - 3 - 9 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.6

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 9$

Passaggio 16.2.2

Somma $- 3$ e $9$ .

$f (- 1) = 6$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{2}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 18.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 18.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{0^{5}}$

Passaggio 18.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{0}$

Passaggio 18.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 19

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 19.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 3 - \frac{3}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.2.2

La risposta finale è $3 - \frac{3}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = 3 - \frac{3}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.3.2

La risposta finale è $3 - \frac{3}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.5$ , dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata prima $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.5$ nell'espressione.

$f' (0.5) = 3 - \frac{3}{{(0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.5) = 3 - \frac{3}{0.62996052}$

Passaggio 19.4.2.1.2

Dividi $3$ per $0.62996052$ .

$f' (0.5) = 3 - 1 \cdot 4.76220315$

Passaggio 19.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4.76220315$ .

$f' (0.5) = 3 - 4.76220315$

Passaggio 19.4.2.2

Sottrai $4.76220315$ da $3$ .

$f' (0.5) = - 1.76220315$

Passaggio 19.4.2.3

La risposta finale è $- 1.76220315$ .

$- 1.76220315$

Passaggio 19.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (4) = 3 - \frac{3}{4^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.2

La risposta finale è $3 - \frac{3}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{4^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un massimo locale.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 19.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 19.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 19.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 20