Calcolo Esempi

$\frac{4}{x - 5}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4}{x - 5}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4}{x - 5}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x - 5}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x - 5}$ come ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$4 (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 4 {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 4 {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 {(x - 5)}^{- 2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{{(x - 5)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ come ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 8 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 5)}^{- 3}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

Passaggio 3.4.2

$8$ e $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{4}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 6

Nessun estremo locale

Passaggio 7