Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{4} {(2)}^{k - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{\frac{1}{4} \cdot 2^{k + 1 - 1}}{\frac{1}{4} \cdot 2^{k - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{\frac{1}{4} \cdot 2^{k + 1 - 1}}{\frac{1}{4} \cdot 2^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2^{k + 1 - 1}}{2^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2^{k + 1 - 1}$ e $2^{k - 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2^{k - 1}$ da $2^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{k - 1} \cdot 2^{k + 0 - (k - 1)}}{2^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{2^{k - 1} \cdot 2^{k + 0 - (k - 1)}}{2^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2^{k - 1} \cdot 2^{k + 0 - (k - 1)}}{2^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $2^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = 2^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $k$ e $0$ .

$r = 2^{k - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 2^{k - k - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = 2^{k - k + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = 2^{1}$

Passaggio 2.2.7

Calcola l'esponente.

$r = 2$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ a $k$ in $\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{k - 1}$ .

$a = \frac{1}{4} \cdot 2^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = \frac{1}{4} \cdot 2^{0}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$a = \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 2^{6}}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 64}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 64}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $64$ da $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 63}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 63}{1 - 2}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 63}{- 1}$

Passaggio 5.3

Dividi $- 63$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 63$

Passaggio 5.4

$\frac{1}{4}$ e $63$ .

$\frac{63}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{63}{4}$

Forma decimale:

$15.75$

Forma numero misto:

$15 \frac{3}{4}$