Calcolo Esempi

$18 x {(x - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $18 x {(x - 1)}^{3}$ come funzione.

$f (x) = 18 x {(x - 1)}^{3}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x {(x - 1)}^{3}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$18 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$18 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$18 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.1.1.4.6

Moltiplica ${(x - 1)}^{3}$ per $1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

Passaggio 2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 18 {(x - 1)}^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $18$ .

$54 (x ({(x - 1)}^{2})) + 18 {(x - 1)}^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.3

Scomponi $18 {(x - 1)}^{2}$ da $54 x {(x - 1)}^{2} + 18 {(x - 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.3.1

Scomponi $18 {(x - 1)}^{2}$ da $54 x {(x - 1)}^{2}$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 18 {(x - 1)}^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.3.2

Scomponi $18 {(x - 1)}^{2}$ da $18 {(x - 1)}^{3}$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 18 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.3.3

Scomponi $18 {(x - 1)}^{2}$ da $18 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 18 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.5

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$18 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.6

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$18 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$18 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.7.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$18 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.7.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$18 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.7.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$18 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$18 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.7.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$18 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(18 x^{2} + 18 (- 2 x) + 18 \cdot 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.9.1

Moltiplica $- 2$ per $18$ .

$(18 x^{2} - 36 x + 18 \cdot 1) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.9.2

Moltiplica $18$ per $1$ .

$(18 x^{2} - 36 x + 18) (4 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.10

Espandi $(18 x^{2} - 36 x + 18) (4 x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$18 x^{2} (4 x) + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.11.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$18 \cdot 4 x^{2} x + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$18 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$18 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$18 \cdot 4 x^{1 + 2} + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$18 \cdot 4 x^{3} + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.3

Moltiplica $18$ per $4$ .

$72 x^{3} + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 \cdot 4 x \cdot x - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 \cdot 4 (x \cdot x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 \cdot 4 x^{2} - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.7

Moltiplica $- 36$ per $4$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.8

Moltiplica $- 1$ per $- 36$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} + 36 x + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $18$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} + 36 x + 72 x + 18 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.5.11.10

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} + 36 x + 72 x - 18$

Passaggio 2.1.1.5.12

Sottrai $144 x^{2}$ da $- 18 x^{2}$ .

$72 x^{3} - 162 x^{2} + 36 x + 72 x - 18$

Passaggio 2.1.1.5.13

Somma $36 x$ e $72 x$ .

$f' (x) = 72 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x - 18$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $72 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [72 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [72 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $72 x^{3}$ rispetto a $x$ è $72 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$72 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$72 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $72$ .

$216 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 162 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- 162$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 162 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 162 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$216 x^{2} - 162 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$216 x^{2} - 162 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 162$ .

$216 x^{2} - 324 x + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $108 x$ rispetto a $x$ è $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.4.3

Moltiplica $108$ per $1$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 + 0$

Passaggio 2.1.2.5.2

Somma $216 x^{2} - 324 x + 108$ e $0$ .

$f'' (x) = 216 x^{2} - 324 x + 108$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $216 x^{2} - 324 x + 108$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $216 x^{2} - 324 x + 108 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $108$ da $216 x^{2} - 324 x + 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Scomponi $108$ da $216 x^{2}$ .

$108 (2 x^{2}) - 324 x + 108 = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scomponi $108$ da $- 324 x$ .

$108 (2 x^{2}) + 108 (- 3 x) + 108 = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi $108$ da $108$ .

$108 (2 x^{2}) + 108 (- 3 x) + 108 (1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.4

Scomponi $108$ da $108 (2 x^{2}) + 108 (- 3 x)$ .

$108 (2 x^{2} - 3 x) + 108 (1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.5

Scomponi $108$ da $108 (2 x^{2} - 3 x) + 108 (1)$ .

$108 (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$108 (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1$ più $- 2$ .

$108 (2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$108 (2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$108 ((2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$108 (x (2 x - 1) - (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$108 ((2 x - 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$108 (2 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $108 (2 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 216 {(0)}^{2} - 324 \cdot 0 + 108$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 216 \cdot 0 - 324 \cdot 0 + 108$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $216$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 324 \cdot 0 + 108$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 324$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 108$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 108$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $108$ .

$f'' (0) = 108$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $108$ .

$108$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \frac{1}{2})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{1}{2}, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.75$ nell'espressione.

$f'' (0.75) = 216 {(0.75)}^{2} - 324 \cdot 0.75 + 108$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.75$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.75) = 216 \cdot 0.5625 - 324 \cdot 0.75 + 108$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $216$ per $0.5625$ .

$f'' (0.75) = 121.5 - 324 \cdot 0.75 + 108$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 324$ per $0.75$ .

$f'' (0.75) = 121.5 - 243 + 108$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $243$ da $121.5$ .

$f'' (0.75) = - 121.5 + 108$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 121.5$ e $108$ .

$f'' (0.75) = - 13.5$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 13.5$ .

$- 13.5$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(\frac{1}{2}, 1)$ perché $f'' (0.75)$ è negativo.

Funzione concava su $(\frac{1}{2}, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = 216 {(4)}^{2} - 324 \cdot 4 + 108$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = 216 \cdot 16 - 324 \cdot 4 + 108$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $216$ per $16$ .

$f'' (4) = 3456 - 324 \cdot 4 + 108$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 324$ per $4$ .

$f'' (4) = 3456 - 1296 + 108$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $1296$ da $3456$ .

$f'' (4) = 2160 + 108$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $2160$ e $108$ .

$f'' (4) = 2268$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2268$ .

$2268$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, \frac{1}{2})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(\frac{1}{2}, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9