Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e la cui somma è $b = - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 13$ come $- 1$ più $- 12$ .

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $3$ da $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $3$ da $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $x^{2} - 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 6, - 3$

Passaggio 7.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 9

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 10

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 6, 3$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

Passaggio 14

Trova il dominio di $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.3

Scomponi $3$ da $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Passaggio 14.2.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 6, - 3$

Passaggio 14.2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Passaggio 14.2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Passaggio 14.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 14.2.3

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 14.2.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 14.2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 14.2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 14.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 6, 3$

Passaggio 14.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 15

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{074}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di $- 0.8\overline{3}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3.5$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci $x$ con $3.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di $1.2\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.4

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 16.4.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

Passaggio 16.4.3

Il lato sinistro di $- 2.\overline{3}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 16.5.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

Passaggio 16.5.3

Il lato sinistro di $3.0\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 3$ Vero

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 3$ Vero

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ o $4 \leq x < 6$

Passaggio 18

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

Passaggio 19