Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{(1 + x^{2})}$ , $(3, 0.3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 0.3$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.8

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.9

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$\frac{- {(3)}^{2} + 1}{{({(3)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{- 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.1.3

Somma $- 9$ e $1$ .

$\frac{- 8}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 8}{{(9 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{- 8}{10^{2}}$

Passaggio 1.10.2.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 8}{100}$

Passaggio 1.10.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.3.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$\frac{4 (- 2)}{100}$

Passaggio 1.10.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.10.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.10.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{25}$

Passaggio 1.10.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{25}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{2}{25}$ e un punto dato $(3, 0.3)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.3) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 0.3 = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{2}{25} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + 3 (\frac{2}{25})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$3$ e $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{3 \cdot 2}{25}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{6}{25}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y - 0.3 = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $0.3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $0.3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3 \cdot \frac{25}{25}$

Passaggio 2.3.2.3

$0.3$ e $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + \frac{0.3 \cdot 25}{25}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Passaggio 2.3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 2 x + 6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Passaggio 2.3.2.6

Moltiplica $0.3$ per $25$ .

$y = \frac{- 2 x + 6 + 7.5}{25}$

Passaggio 2.3.2.7

Somma $6$ e $7.5$ .

$y = \frac{- 2 x + 13.5}{25}$

Passaggio 2.3.2.8

Scomponi $0.5$ da $- 2 x + 13.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.8.1

Scomponi $0.5$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 13.5}{25}$

Passaggio 2.3.2.8.2

Scomponi $0.5$ da $13.5$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)}{25}$

Passaggio 2.3.2.8.3

Scomponi $0.5$ da $0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25}$

Passaggio 2.3.2.9

Scomponi $25$ da $25$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25 (1)}$

Passaggio 2.3.2.10

Frazioni separate.

$y = \frac{0.5}{25} \cdot \frac{- 4 x + 27}{1}$

Passaggio 2.3.2.11

Dividi $0.5$ per $25$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{1}$

Passaggio 2.3.2.12

Elimina il fattore comune di $0.02$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.12.1

Scomponi $0.02$ da $1$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Passaggio 2.3.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Passaggio 2.3.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 4 x + 27}{50}$

Passaggio 2.3.2.13

Dividi la frazione $\frac{- 4 x + 27}{50}$ in due frazioni.

$y = \frac{- 4 x}{50} + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.2.14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.14.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.14.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{50} + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.2.14.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.14.1.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 (25)} + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.2.14.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 25} + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.2.14.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.2.14.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{27}{50}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{27}{50}$

Passaggio 3