Calcolo Esempi

$f (x) = 16 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10

$16$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.11

$- 8$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 8 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.12

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.13

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ come ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Passaggio 3.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Passaggio 3.11

$4$ e $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2}$

Passaggio 3.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 3.12.2

Sposta $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.13

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 3.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ come ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Passaggio 4.9

$x^{- \frac{7}{2}}$ e $\frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Passaggio 4.11

$- 6$ e $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{- 6 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Passaggio 4.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$\frac{- 30 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Passaggio 4.12.2

Sposta $x^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.13

Scomponi $2$ da $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (x^{\frac{7}{2}})}$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$